Effiziente Lösungsstrategien in der nichtlinearen Schalenmechanik

Abstract

Numerische und algorithmische Aspekte der Berechnung dünnwandiger Schalentragwerke mit der Methode der Finiten Elemente werden hier diskutiert. Dabei liegt das Augenmerk auf der Auswahl und Gestaltung von Methoden, die eine effiziente Behandlung der aus der 7-Parameter-Schalenformulierung von Büchter und Ramm (1992) resultierenden Gleichungen auf Parallelrechnern erlauben. Hierzu werden parallele iterative Lösungsstrategien im Rahmen eines neuen Softwarekonzepts eingesetzt, deren Effizienz jedoch maßgeblich von der den Gleichungen zugrundeliegenden Mechanik der Schalentragwerke beeinflusst wird. Mit finiten Elementen diskretisierte Schalen führen zu schlecht konditionierten Gleichungssystemen, was an die Vorkonditionierung der iterativen Lösung besondere Herausforderungen stellt. Die Konditionierung der Gleichungssysteme verschlechtert sich zusätzlich, wenn wie bei der genannten Schalenformulierung die Dickenänderung der Schale berücksichtigt wird und die Parametrisierung der Schalenrotationen und der Dickenänderung über Differenzverschiebungen zwischen Schalenober- und Mittelfläche erfolgt.Es wird eine Vorkonditionierungsstrategie vorgestellt, die zwei Ansätze miteinander kombiniert. Der erste Ansatz ist eine mechanisch motivierte Verbesserung der Konditionierung der Elementmatrizen durch eine Skalierung des Schalendirektors. Hierdurch wird die aus der Parametrisierung resultierendezusätzliche Verschlechterung der Kondition behoben. Der zweite Ansatz ist eineparallele semi-algebraische Aggregations-Multigrid-Vorkonditionierung auf der Basis überlappender Gebietszerlegung nach Vanek et al. (2001). Dabei werden sogenannte disjunkte Aggregate aus Knotenblöcken der Systemmatrix gebildet, die auf gröberen Leveln wiederum durch einen Knotenblock repräsentiert werden. Die Methode erlaubt den Verzicht auf Grobdiskretisierungen und konstruiert die Transferoperatoren zwischen den Leveln auf der Basis der Starrkörpermoden der ungelagerten Struktur.Die Berücksichtigung der Schalendickenänderung erlaubt die Modellierung von Kontaktnebenbedingungen für die Schalenoberflächen. Aufbauend auf der in Laursen (2002) gegebenen kontinuumsmechanische Kontaktbehandlung wird eine Knoten-Segment-Diskretisierung des (Selbst-)Kontakts für die Schalenformulierungbei grossen Deformationen und Reibung gegeben. Die nötige Regularisierung der Kontaktnebenbedingungen wird mit der Methode der Augmented-Lagrange-Multiplikatoren realisiert. Für die Kontaktsuche wird ein mehrphasiges Konzept vorgeschlagen, das einerseits von der Annahme der Dünnwandigkeit der Strukturen zur Effizienzsteigerung Gebrauch macht, aber auch die aus der Dünnwandigkeit resultierenden besonderen Schwierigkeitenberücksichtigt.Eine Reihe numerischer Beispiele demonstriert die Anwendbarkeit und Leistungsfähigkeit der behandelten und vorgestellten Ansätze.

Numerical and algorithmic aspects of simulating the behaviour of thin-walled shell structures using finite element methods are discussed. Attention is focussed upon choice and layout of methods allowing for an efficient treatment of equations resulting from the 7-parameter shell model by Buechter and Ramm (1992) applying parallel computers. Parallel iterative solution methods are considered in a software framework proposed here. However, their efficiency is significantly influenced by the underlying mechanics of the shell structure.Shells discretised by finite elements result in ill-conditioned systems of equations and therefore pose a great challenge to the preconditioner of the iterative solver. With the shell model mentioned above the situation further deteriorates, as the thickness change of the shell is taken into account and the parametrisation of rotations and thickness change is done by relative displacements between the upper- and the mid-surface of the shell.A preconditioner is presented combining two approaches in a parallel, domain decomposition based framework. The first approach is a mechanically motivated improvement of the conditioning of the resulting element matrices by scaling the director field of the shell. By this the extra ill-conditioning from the above mentioned parametrisation can be removed. The second approach is a semi-algebraic multigrid preconditioner based on Smoothed Aggregation following Vanek et al. (2002). Disjoint so-called aggregates of nodal blocks of the system matrix are formed which then can be represented on a coarser level by a single nodal block. The method abandons the need for explicit coarse discretisations and constructs interlevel transfer operators upon the rigid body modes of the unconstrained structure.Consideration of thickness change in the shell formulation allows for contact constraints on the shell surfaces. Based on the continuum contact framework in Laursen (2002), a node-to-segment discretisation of (self-)contact for the 7-parameter shell model including finite deformations and friction is presented. The required regularisation of contact constraints is done by augmented Lagrangean multipliers. A multi-phase concept for the contact search algorithms is proposed that makes use of the slenderness assumption of the structure to improve efficiency but also considers the challenges resulting from this property.A series of numerical examples demonstrates the applicability and effectiveness of the considered approaches.