High order particle transport for PIC simulations of plasma flows

Abstract

Numerical simulations of plasma flows based on the Particle in Cell (PIC) technique need a procedure for the integration of Newtons relativistic equation of motion for charged particles. In this work a new explicit single step integration method based on a Taylor series expansion of particles velocity is presented.

Up to now the most often used particle push methods are the enhanced leapfrog scheme by J.P. Boris and the classic Runge-Kutta scheme. The special construction of the explicit Boris leapfrog scheme yields to a very efficient and robust integration, but the scheme is limited to a second order convergence rate. For a high order explicit integration the Runge-Kutta method is the only one and achieves its convergence rates by evaluating Newton's equation of motion at different interim stages. The calculation of the these stages with the complete PIC cycle is the most expensive part of this scheme. Both methods serve as a reference in this work.

The presented truncated Taylor series expansion applied on Newtons equation of motion for charged particle is the first high order explicit single step integration method. The realization of this expansion up to the desired truncation order yields to higher total derivatives of the relativistic velocity and the inverse Lorentz factor. The dependency of these derivatives in time, space and the relativistic velocity itself leads to a complex differential operator. To compute the higher total derivatives of the relativistic velocity, the hierarchical structure of this procedure is utilized to construct the operators by a rearrangement of previously defined operators. Furthermore the unknown total derivatives of the electromagnetic fields are replaced by the application of simple differentiation rules by the given high order partial derivatives in time and space as well as the mixed derivatives. These higher temporal and spatial derivatives of the electromagnetic fields are a prerequisite of the new integration scheme and have to be calculated by a high order Maxwell solver.

To assess and verify this new integration method the Taylor series expansion was tested on different examples in the non-relativistic case on space and time dependent electromagnetic fields and in the relativistic region where the Lorentz factor with all total derivatives are present. For all examples the experimental order corresponds to the selected formal order and a gain in accuracy and efficiency by an increase of the selected formal order is successfully demonstrated.

Für die numerische Simulation von Plasmaströmungen mit Hilfe der Particle in Cell Technik wird in dieser Arbeit ein neues Verfahren zur Berechnung der relativistischen Bewegung von Ladungen in elektromagnetischen Feldern vorgestellt. Diese neue explizite Einschritt-Integrationsmethode basiert auf der Taylorreihenentwicklung der Geschwindigkeit.

Als Vergleich werden in dieser Arbeit die explizite Leapfrog-Methode nach Boris, sowie ein explizites Runge-Kutta Verfahren verwendet. Die spezielle, aber einfache Konstruktion des Leapfrog-Verfahrens nach Boris ist sehr effizient und stabil. Dieses Konstruktion beschränkt das Verfahren aber auf eine Konvergenzrate 2.-ter Ordnung. Mit einem Runge-Kutta Verfahren gibt es bereits explizite Integrationsverfahren höherer Ordnung, welche jedoch die hohe Ordnung nur durch mehrfache Auswertung der Newtonschen Bewegungsgleichung an den Stützstellen erreichen. Dazu muss der gesamten PIC-Kreislauf entsprechend häufig ausgeführt werden, was den hohen zeitlichen Rechenaufwand begründet.

Die vorgestellte Taylorreihenentwicklung, angewandt auf die relativistische Newtonsche Bewegungsgleichung, ist die erste explizite Einschritt-Methode höherer Ordnung, welche zur Lösung dieser Gleichung favorisiert und angewandt wird. Die Ausführung der Reihenentwicklung bis zur gewünschten Verfahrensordnung führt auf höhere Ableitungen der relativistischen Geschwindigkeit, sowie des inversen Lorentzfaktors. Die Abhängigkeit dieser Größen von Zeit und Raum, sowie der relativistischen Geschwindigkeit selbst, führt auf einen komplizierten Ausdruck für den Differenzialoperator. Dieser Operator kann jedoch unter Ausnutzung der hierarchischen Struktur der totalen Ableitungen, durch ein Zusammensetzen aus bereits bekannten Operatoren, zur Berechnung der niederen Ableitungen, gebildet werden. Die in dem Verfahren auftretenden totalen Ableitungen der elektromagnetischen Felder werden durch die entsprechenden Ableitungsregeln aus den partiellen Ableitungen nach der Zeit und im Raum, sowie deren gemischte Ableitungen gebildet. Alle dafür notwendigen Ableitungen müßen bereits durch Verfahren höherer Ordnung zur Lösung der Maxwellgleichung gegeben sein.

Zur Bewertung der neuen Integrationsmethode und zum Nachweis der Funktion wird die Taylorreihenentwicklung an mehreren Beispielen getestet. Für den nichtrelativistischen Bereich kann die Methodean Beispielen mit zeit- und raumabhängigen elektrischen Feldern überprüft werden. Mit dem letzten Beispiel wird das Verhalten des Verfahrens im relativistischen Bereich untersucht, wenn der Lorentzfaktor und deren Ableitungen existieren und für die gesamte Bewegung nicht mehr zu vernachlässigen sind. In allen Tests konnte nachgewiesen werden, dass die experimentell bestimmte Verfahrensordnung mit der theoretischen Konvergenzordnung bereinstimmt. Mit jeder Erhöhung der Verfahrensordnungen, konnte die Genauigkeit gesteigert werden, sowie die Effizienz der Berechnung.