Ein Stabilitätsmaß für nichtlineare Systeme

Abstract

Zu jeder Anfangsbedingung eines dynamischen Systems gehört eine Lösungstrajektorie. Variiert man nun die Anfangsbedingungen in einem Hyperwürfel des Zustandsraums, so erhält man eine Schar von Trajektorien, die sich ebenfalls durch einen Hyperwürfel einhüllen läßt. Mit der Kantenlänge beider Würfel kann ein Stabilitätsmaß definiert werden, das sich durch einfache Betragsbildung ermitteln läßt. Für lineare Systeme gelingt es, ein solches Stabilitätsmaß auch analytisch zu bestimmen. Bei nichtlinearen Systemen ist in der Regel nur eine numerische Berechnung möglich. Für das Einfachpendel und das Doppelpendel werden mit einem Simulationsalgorithmus die Stabilitätsmaße bestimmt. Damit erhält man Aussagen über das globale Verhalten bezüglich einer Gleichgewichtslage unabhängig vom Zeitverlauf der Lösung, die periodisch, quasiperiodisch oder chaotisch sein kann.