Implementierung flexibler Mehrkörpersysteme in MATLAB/SIMULINK auf Basis von neweul-m2

Abstract

Mechanische Mehrkörpersysteme werden in den verschiedensten Bereichen angewendet, vor allem wenn die Körper große, nichtlineare Bewegungen ausführen. Die Verformungen der Körper werden hierbei häufig vernachlässigt. In vielen Anwendungen, wie etwa für die Regelung mechanischer Systeme, ist es wünschenswert, die Bewegungsgleichungen symbolisch in geschlossener Form zu erhalten. Die meisten kommerziellen Programme stellen die Bewegungsgleichungen jedoch ausschließlich numerisch auf.

Die Simulationsumgebung neweul-m2 ermöglicht es bereits die Bewegungsgleichungen starrer Mehrkörpersysteme in Minimalkoordinaten symbolisch aufzustellen, um diese anschließend in Matlab verwenden zu können. Ziel dieser Arbeit ist es, diese Simulationsumgebung um flexible Mehrkörpersysteme zu erweitern. Dafür ist zu allererst ein theoretischer Einblick in die Grundlagen flexibler Mehrkörpersysteme nötig. Bei der Herleitung der Bewegungsgleichungen wird der sogenannte ’floating frame of reference’-Ansatz verwendet, mit dessen Hilfe sich eine Trennung der Starrkörperbewegung und der elastischen Verformungen realisieren lässt. Aus diesem Grund unterteilt sich die Kinematikberechnung in zwei Abschnitte. Zum einen in die Berechnung des Referenzsystems, das die Starrkörperbewegung ausführt und zum anderen in die der Knotenkoordinatensysteme, die ausschließlich die linear-elastischen Verformungen beschreiben. Die Berechnung der Kinematik erfolgt dabei nicht durch die Differentiation des absoluten Lagevektors beziehungsweise des Winkelgeschwindigkeitsvektors, sondern durch Differentiation der relativen Größen zwischen den Körpern. Die absoluten Positions-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsgrößen ergeben sich dann durch sukzessive Kombination der relativen Größen.

Bei der anschließenden Kinematikberechnung müssen bei der Berechnung der Impuls- und Drallsätze explizit sogenannte Trägheitskräfte berücksichtigt werden, da als Bezugspunkt nicht wie gewöhnlich der Schwerpunkt, sondern das Referenzsystem verwendet wird. Bei Schwerpunktsystemen sind diese bereits implizit enthalten. Den Abschluß der Theorie bildet die Aufstellung der Newton- Euler-Gleichungen, die Transformation der Bewegungsgleichungen auf Minimalform und der ¨Ubergang in den Zustandsraum.

Die Implementierung folgt der in dem vorangehenden Teil der Arbeit vorstellten Theorie. Die in den Newton-Euler-Gleichungen auftauchenden Volumenintegrale ermöglichen eine Vorabberechnung, deren Ergebnisse in SID-Files abgelegt werden. Um diese Informationen in neweul-m2 nutzen zu können, kommt ein Konverter zur Anwendung.

Nach erfolgter Erstellung der Newton-Euler-Gleichungen verläuft die Berechnung auf zwei unterschiedlichen Wegen.Während Systeme mit wenigen Freiheitsgraden wie bisher vollsymbolisch berechnet werden, erfolgt bei Systemen mit einer hohen Anzahl an Freiheitsgraden die Berechnung nur noch teilsymbolisch. So wird die Linksmultiplikation mit der transponierten globalen Jacobi-Matrix numerisch durchgeführt, wodurch die Komplexität der Bewegungsgleichungen deutlich reduziert wird. Weitere Effizienzsteigerungen ergeben sich, wenn auch andere Operationen numerisch durchgeführt werden. Viele dieser Modifikationen zeigen jedoch erst bei Systemen mit vielen Freiheitsgraden ihr volles Potential, wobei sich bei einfachen Systemen sogar eine minimale Verschlechterung einstellen kann.

Für die Validierung werden in dieser Arbeit drei verschiedene Beispiele vorgestellt, um dann die Ergebnisse mit denen der Simulationsumgebung Simpack zu vergleichen. Für die Validierung der Kinematik- und Kinetikberechnung erfolgt die Berechnung des neweul-m2-Anschauungsmodells eines starren Doppelpendels mit zwei rotatorischen Freiheitsgraden je Arm zum einem mit der konventionellen Methode und zum anderen mit der neu realisierten Methode.

Um die Korrektheit der Berechnung der elastischen Anteile zu zeigen, wird ein Doppelpendel bestehend aus zwei elastischen Armen mit verschiedenen Anfangsbedingungen und unterschiedlicher Anzahl elastischer Koordinaten mit neweulm2 modelliert, um anschließend eine numerische Integration durchführen zu können. Zu Vergleichszwecken wird zusätzlich eine Simulation des Systems mit Simpack durchgeführt.

Abschließend wird die Regelung eines Roboterarms, dessen Endeffektor einer Halbkreisbahn folgen muss, vorgestellt. Dabei wurde zur Auslegung des Reglers das starre System und zum Betrieb das elastische System verwendet. Dadurch entsteht eine Abweichung der Ist-Trajektorie von der Soll-Trajektorie. Diese Abweichungen resultieren aus den elastischen Verformungen. Auch hier erfolgt eine Validierung mit Hilfe einer Simpack-Co-Simulation.