Kinematische Schnittmaße bei gegebener Schnittsituation in der Integralgeometrie

Abstract

Anhand eines bekannten Ergebnisses aus der Integralgeometrie als Beispiel soll die Problemstellung erläutert und motiviert werden, die dieser Arbeit zugrunde liegt: Sei C eine feste kompakte berandete d-dimensionale Mannigfaltigkeit (mit zweimal stetig differenzierbarem Rand) im d-dimensionalen euklidischen Raum. Dann ist das Integral über die Euler-Charakteristik des Schnittes von C mit einer Hyperebene -- bezüglich des wie üblich normierten bewegungsinvarianten Maßes auf der Mannigfaltigkeit aller Hyperebenen -- gegeben durch das Oberflächenintegral der (d-2)-ten mittleren Krümmung über den Rand von C. Wird nur eine kompakte Teilmenge aller Hyperebenen betrachtet, die alle C schneidenden Hyperebenen enthält, so gilt somit: Bei geeigneter Normierung ist der Erwartungswert der Euler-Charakteristik des Schnitts einer beliebigen Hyperebene mit C -- bis auf einen konstanten von C unabhängigen Faktor -- durch das Oberflächenintegral gegeben, in das ausschließlich (differential-)geometrische Größen des Randes von C eingehen. Es ist nun nahe liegend zu fragen, wie in dieser Situation eine Formel für die Verteilung aussieht, wie sich also das kinematische Maß derjenigen Hyperebenen ausdrücken lässt, deren Schnitt mit C eine fest vorgegebene Euler-Charakteristik annimmt.

Zur letzten Fragestellung lagen bis jetzt jedoch erst relativ wenige Ergebnisse vor, die sich zudem auf den ebenen Fall konzentrieren. So stellte J. J. Sylvester im Jahr 1890 für endlich viele paarweise disjunkte konvexe Mengen das Problem, dass das kinematische Maß derjenigen Geraden bestimmt werden soll, die alle diese Mengen zugleich schneiden bzw. die mindestens eine dieser Mengen schneiden. Für bis zu drei Mengen hat er explizite Formeln in Abhängigkeit von der gegenseitigen Lage der Mengen angegeben, für eine größere Anzahl von Mengen ein konstruktives Verfahren zur Gewinnung einer solchen Formel geliefert. Im Jahr 1966 beschäftigte sich R. Sulanke unter anderem mit der Existenz von Netzen aus endlich vielen beschränkten konvexen Kurvenbögen bei vorgegebenem Träger der Verteilung ihrer Schnittpunktanzahl mit Geraden. Für reguläre geschlossene Kurven gab R. V. Ambarcumjan schließlich eine explizite Formel für die Wahrscheinlichkeit an, dass eine Gerade mit der Kurve genau k Schnittpunkte besitzt -- ein vollständiger Beweis ist in der Literatur jedoch nicht vorhanden.

Ziel dieser Arbeit ist es nun, für möglichst viele Schnittsituationen die Verteilungen zu bestimmen. Dies geschieht zunächst im Euklidischen -- anschließend im Nichteuklidischen -- für Hyperebenen bzw. Sphären bezüglich Flächen beliebiger Kodimension. Die einzige Forderung, die dabei an die Menge von Hyperebenen bzw. Sphären, deren kinematisches Maß bestimmt werden soll, gestellt wird, wird sein, dass sie von an die gegebene Fläche tangentialen Hyperebenen bzw. Sphären berandet wird. Dies umfasst somit insbesondere die eingangs betrachtete Situation, dass das Maß derjenigen Hyperebenen bestimmt werden soll, deren Schnitt mit C eine fest vorgebene Euler-Charakteristik besitzt. Es sind jedoch auch weitergehende Situationen abgedeckt, in denen zum Beispiel die Anzahl der Schnittkomponenten oder das Trennen von Zusammenhangskomponenten von Interesse sind. Schließlich wird im Euklidischen auch noch das Maß von Geraden mit entsprechendem Schnittverhalten bezüglich Hyperflächen bestimmt, so dass in den wichtigen Fällen des zwei- und dreidimensionalen euklidischen Raums das Schneiden affiner Unterräume mit Flächen komplett abgedeckt ist.

In die dabei gewonnenen Formeln gehen neben Teilflächen der gegebenen Flächen (bzw. jeweils deren Normalenbündel) zusätzlich noch von mehrfach tangentialen Hyperebenen bzw. Sphären eingehüllte Flächen ein. Beispielsweise lässt sich in der eingangs betrachteten Situation das Maß derjenigen Hyperebenen, deren Schnitt mit C eine vorgegebene Euler-Charakteristik besitzt, ausdrücken als Summe des Oberflächenintegrals der (d-2)-ten mittleren Krümmung über offene Teilflächen des Randes von C und des Absolutbetrags der (d-2)-ten mittleren Krümmung über offene Teilflächen dieser Hüllflächen (wobei jeweils einige der Teilflächen positiv, die anderen negativ gewichtet werden). Auf der anderen Seite ergeben sich auch Formeln, in die keine Hüllflächen eingehen, diese Formeln sind dann jedoch abhängig von der Wahl eines ausgezeichneten Punktes, bezüglich dessen Stützabstände zu bestimmen sind. Im betrachteten Beispiel wird dann über Teilflächen des Randes von C das Produkt von Gauß-Krümmung und Stützabstand der tangentialen Hyperebene zum Ursprung integriert. Die Aufteilung in die Teilflächen und deren Gewichtung geschieht in beiden Formeln auf genau dieselbe Art und Weise. Der Übergang vom einen in den anderen Typ steht im Zusammenhang mit den Minkowskischen Integralformeln.

We will now consider a well known integral geometrical formula to give an example for the problem that is underlying this work. This problem shall now be exemplified and motivated: Let C be a fixed compact d-dimensional manifold (with twice differentiable boundary) embedded into the d-dimensional euclidean space. Then the integral of the Euler characteristic of the intersection of C with a hyperplane---in respect of the invariant density of the manifold of all hyperplanes---is given by the integral of the (d-2)-th mean curvature over the boundary of C. So this formula---normalised in a appropiate way---shows that the expectation of the Euler characteristic of the intersection of C with a random hyperplane is given---up to a constant factor which is independent of C---by this integral over the boundary of C. In this integral only (differential) geometrical properties of the boundary of C appear. This leads to the question how the corresponding distribution looks like, i.e. to ask for the kinematic measure of those hyperplanes whose intersection with C has a Euler characteristic of a fixed predetermined value.

There are only very few results to the last problem. Furthermore these just focus on the euclidean plane. In 1890 J. J. Sylvester examined the two situations that lines intersect all sets or alternatively at least one set of a given finite union of disjoint convex sets. For up to three sets explicit formulas depending on the mutual position of the sets are given. For more sets a constructive method to gain such a formula is specified. In 1966 R. Sulanke studied nets of bounded convex curves with predetermined support of the probability distribution of its number of intersections with lines. For regular closed curves R. V. Ambarcumjan finally gave a formula for the probability that a line has exactly k points of intersections---but there is no complete proof given in his paper.

Starting from this background in our diploma theses Annette Gauger and I calculated the kinematic measures of lines and circles respectively that intersect a fixed piecewise regular curve in k points. This was done in arbitrary spaces of constant curvature. In contrast to the above mentioned works an predominantly differential geometrical approach was chosen whereas in these works mostly combinatorial methods were used.

The aim of this work is to extend these results to arbitrary dimensions and to cover as many intersection situations as possible. At first this will be done in euclidean space---subsequently in noneuclidean spaces---for hyperplanes and spheres, in respect of surfaces of arbitrary codimension. The sets of hyperplanes or spheres, whose measure we have to calculate, will only be restricted insofar that their boundary must be given by tangential (to the fixed surface M) hyperplanes or spheres. This includes the initially viewed example of the measure of all hyperplanes whose intersection with M has a predetermined Euler characteristic. However many more situations are covered by the number of components of the intersection or the partition of components of connection of M. Finally in similar situations formulas for the measure of lines in respect of hypersurfaces are established in euclidean space. So in the euclidean space of two and three dimensions all cases of affine subspaces intersecting a surface are covered completely.