Regularity results for quasilinear elliptic systems of power-law growth in nonsmooth domains : boundary, transmission and crack problems

Abstract

The thesis is devoted to the analysis of weak solutions of quasi-linear elliptic boundary transmission problems on nonsmooth domains. The focus lies on the following two classes of equations which are closely related: general systems of second order quasi-linear elliptic partial differential equations of p-structure with piecewise constant coefficients (e.g. the p-Laplace equation) and field equations for the displacement and stress fields of heterogeneous, physically nonlinear elastic bodies which obey a constitutive relation of power-law type (Ramberg/Osgood model). In our context a heterogeneous body is a structure which is composed of different homogeneous sub-structures which are bonded along interfaces. The whole structure as well as the interfaces, which separate sub-structures with different material properties, may have corners and edges. Physical experiments and numerical simulations show that very high stress concentrations can occur in the vicinity of re-entrant corners, cracks, edges and near those points where the material parameters are discontinuous. These stress concentrations have a strong influence on the strength and physical life of the body and may finally lead to the failure of the whole structure. Therefore, information on the stress fields are important. The goal of the thesis is to derive global regularity results for weak solutions of the underlying boundary value and transmission problems. An example by R.B. Kellogg shows that one cannot guarantee general higher regularity for weak solutions without any further restriction on the geometry or the distribution of the material parameters. Therefore, we require that the boundary transmission problems satisfy a so-called quasi-monotone covering condition. This new condition imposes restrictions on the geometry of the subdomains and on the growth properties of differential operators on neighboured subdomains. Assuming that the quasi-monotonicity condition holds we prove global regularity results for weak solutions of quasi-linear elliptic boundary transmission problems of p-structure and for the displacement and stress fields of coupled Ramberg/Osgood materials. The results cover constellations with an arbitrary number of subdomains, nonsmooth boundaries and interfaces. Furthermore, the growth properties of the differential operators may vary from subdomain to subdomain. The results are proved with a difference quotient technique where the quasi-monotone covering condition and the growth properties of the differential operators play an essential role. We present two applications of the regularity results. We derive a global regularity result for the stress fields of Hencky's elasto-plastic model on domains with Lipschitz boundaries. The proof is based on a theorem by R. Temam and A. Bensoussan/J. Frehse stating that stress fields of the Hencky model can be approximated by stress fields of the Ramberg/Osgood model. As second application we study Griffith's energetic fracture criterion for Ramberg/Osgood materials. Here we use the regularity results for a mathematically rigorous justification of formulas (Griffith formula, J-integral) which occur in the formulation of Griffith's criterion.

Gegenstand dieser Arbeit sind Regularitätsuntersuchungen für schwache Lösungen quasilinearer elliptischer Randwert-Transmissionsprobleme auf nichtglatten Gebieten. Im Mittelpunkt stehen folgende Gleichungsklassen, die eng miteinander verwandt sind: Allgemeine Systeme 2. Ordnung quasilinearer elliptischer Differentialgleichungen von p-Struktur mit stückweise konstanten Koeffizienten (z.B. die p-Laplace-Gleichung) und Feldgleichungen zur Bestimmung der Verschiebungs- und Spannungsfelder heterogener, physikalisch nichtlinear-elastischer Festkörper, deren konstitutives Gesetz durch ein Potenzgesetz gegeben ist (Ramberg/Osgood-Modell). Unter heterogenen Körpern verstehen wir hier Körper, die aus verschiedenen homogenen Teilkörpern bestehen, welche fest miteinander gekoppelt sind. Die Materialparameter dürfen von Teilkörper zu Teilkörper variieren. Unter Belastung können in diesen Körpern sehr hohe Spannungskonzentrationen in der Nähe von einspringenden Ecken, Kanten, Rissen und Punkten mit wechselnden Materialparametern auftreten. Diese Spannungskonzentrationen beeinflussen die Festigkeit und Lebensdauer des Körpers und können schließlich zum Versagen der gesamten Struktur führen. Informationen über die Spannungsverteilung im Körper sind deshalb notwendig. Das Ziel dieser Arbeit ist die Herleitung globaler Regularitätsaussagen für schwache Lösungen der zu Grunde liegenden Randwert-Transmissionsprobleme. Ein Beispiel von R.B. Kellogg zeigt, dass man ohne weitere Voraussetzungen an die Geometrie oder die Verteilung der Materialparameter keine höhere Mindestregularität für schwache Lösungen garantieren kann. Es wird in dieser Arbeit deshalb gefordert, dass die Randwert-Transmissionsprobleme die sogenannte quasimonotone Überdeckungsbedingung erfüllen. Dieser Begriff wird neu eingeführt und beschreibt Voraussetzungen an die Geometrie der einzelnen Teilkörper und an die Wachstumseigenschaften der Differentialoperatoren auf benachbarten Teilgebieten. Unter der Annahme, dass die Quasimonotonie-Bedingung erfüllt ist, zeigen wir globale Regularitätsaussagen für schwache Lösungen quasilinearer elliptischer Randwert-Transmissionsprobleme mit p-Struktur und für die Verschiebungs- und Spannungsfelder gekoppelter Ramberg/Osgood-Materialien. Diese Ergebnisse gelten (solange die Quasimonotonie-Bedingung erfüllt ist) für eine beliebige Anzahl von Teilkörpern, für nichtglatte Transmissionsränder und für Probleme, bei denen die Differentialoperatoren in benachbarten Teilgebieten unterschiedlich starke Nichtlinearitäten aufweisen. Die Resultate werden mit Hilfe einer Differenzenquotienten-Technik bewiesen, wobei die Quasimonotonie-Bedingung und die Wachstumseigenschaften der Differentialoperatoren eine entscheidende Rolle spielen. Die erzielten Regularitätsaussagen werden anschließend zur Herleitung eines globalen Regularitätsresultats für das Spannungsfeld des elastisch, ideal-plastischen Hencky-Modells auf Lipschitz-Gebieten verwendet. Hierbei wird ein Resultat von R. Temam und von A. Bensoussan/J. Frehse ausgenutzt, welches besagt, dass die Spannungen des Hencky-Modells durch Spannungsfelder des Ramberg/Osgood-Modells approximiert werden können. Als weitere Anwendung der Regularitätsaussagen wird das Griffithsche Bruchkriterium für das Ramberg/Osgood-Modell untersucht. Unter Verwendung der Regularitätsaussagen leiten wir die bei der Formulierung des Bruchkriteriums auftretende Griffithsche Formel und das J-Integral rigoros her und zwar unter Berücksichtigung der tatsächlichen Regularität der Verschiebungs- und Spannungsfelder.