Damage in multi-phasic materials computed with the extended finite-element method

Abstract

Material failure is in general a critical situation. It is accompanied with reduced load capacities. Thus, buildings, structures, configurations, etc. tend to collapse and by that loose their designated purpose. This can result in catastrophic consequences. Therefore, a reliable prediction of damage processes is necessary. Consequently, the structural information of crack configurations is of essential interest. The structural information of cracks is usually determined under the assumption of homogeneous, single-phase materials. Certainly, not all materials consist of just one single phase only. Actually, nearly all materials are - more or less - porous materials. Especially grown, biological tissue needs to be regarded as a multi-phasic material. Every biological tissue consists of structural cells, blood vessels, nerves and much more. Tissue rupture, or fracture, respectively, can become a direct hazard to life and living. So, these damage processes are of great interest. Interstitial fluid has to be taken into account when regarding living tissue. As a consequence, damage can result in fluid leaking, sucking, or exchange. This can become a serious danger for, e.g., internal organs.

The Theory of Porous Media (TPM) is capable of a macroscopic description of multi-phasic continua. Therein, the information about the underlying micro-structure is obtained by the concept of volume fractions. Thus, the material microstructure can remain unknown. Furthermore, the TPM postulates fully coupled, thermodynamically consistent balance equations for multiple constituents. These characteristics make the TPM the ideal approach to describe biological tissue as immiscible multi-phasic aggregates. Nowadays, it has become common practise to compute material behaviour numerically. Therein, the Finite-Element Method (FEM) has proven to be well-suited for the numerical approximation of differential balance equations. But, the FEM is limited in the simulation of material failure. Thus, the extended FEM (XFEM) was lately developed to overcome this restriction. The XFEM bears the advantage that the finite-element mesh does not need to honour the geometric shape of discontinuities. On this basis, especially when targeting three-dimensional (3-d) problems, efficient finite-elements are crucial for a correct discretisation. Moreover, sophisticated tracking techniques are necessary to exploit the advantage of XFEM damage simulations.

With focus on - but not limited to - grown, biological materials, the aim of this monograph is the development of a numerical methodology for the simulation of damage in multi-phasic materials. Therein, the goal is to present a consistent numerical method for the simulation of discontinuous boundary-value problems (BVP) within a 3-d non-linear setting. Representative examples from the field of bio-mechanical problems should reflect the numerical capabilities of the presented method. Due to the generality of the used methods, the presented methodology could also be used in - only at first sight - totally different application areas, e.g., in the context of CO2 sequestration.

This thesis is structured into four main chapters. The fundamentals of continuum mechanics are briefly discussed in Chapter 2. Basic continuum-mechanical principles are presented within the framework of the Theory of Porous Media (TPM). A thermodynamically consistent biphasic material model is developed. Constitutive settings describe a fully fluid-saturated, porous solid skeleton. The discussion on boundary-value problems (BVP) closes the considerations on regular continuum mechanics.

A brief introduction into the theoretical fundamentals of fracture mechanics is given in the first part of Chapter 3. The second part focuses on the correlation of these fundamentals to a continuum-fracture-mechanical framework. This framework is the basis of the subsequent discussion on the numerical methodology. Furthermore, the investigation of the localisation of discontinuities reveals a crack propagation criterion for the solid skeleton.

Chapter 4 presents the numerical implementation of damage processes within the previously developed biphasic continuum-mechanical model. The numerical implementation focuses on the extension of the well-known Finite-Element Method (FEM). The basic principle of the extended Finite-Element Method (XFEM) is first introduced using an example from the field of elasto-inelastic material behaviour. This example yields to an augmented FEM (AugFEM). Sophisticated tracking techniques are presented for the successful numerical simulation of discontinuities.

The last main chapter, Chapter 5, presents numerical examples that are computed on the basis of the theoretical aspects of the preceding chapters. A discontinuous 2-d numerical example simulates the fluid exchange within a tear opening of a hydrated tissue cross section. Finally, 3-d numerical examples address the problem of fracture of the human femur.

Mit Fokus auf gewachsenes, biologisches Gewebe ist es das Ziel der vorliegenden Arbeit, eine numerische Methodologie für die Simulation von Schädigungen in Mehrphasenmaterialien zu entwickeln. Dabei wird ein konsistentes numerisches Verfahren vorgestellt, welches diskontinuierliche Randwertprobleme (RWP) in einer nicht-linearen dreidimensionalen Umgebung simulieren kann. Repräsentative Beispiele aus dem Bereich biomechanischer Problemstellungen belegen die numerischen Möglichkeiten des vorgestellten Verfahrens. Aufgrund der Allgemeingültigkeit der in dieser Arbeit verwendeten Methoden kann die daraus entwickelte Methodologie auch in völlig anderen Anwendungsbereichen angewandt werden, z.B. im Bereich der CO2-Sequestrierung.

Die vorliegende Arbeit ist in vier Hauptkapitel untergliedert. Die Grundlagen der Kontinuumsmechanik werden kurz in Kapitel 2 diskutiert. Darin werden im Rahmen der Theorie Poröser Medien (TPM) grundlegende kontinuumsmechanische Prinzipe vorgestellt und ein thermodynamisch konsistentes Zweiphasen-Materialmodell entwickelt. Die hier zugrunde gelegten kontinuumsmechanischen Prinzipe haben ihren Ursprung in den klassischen Feldtheorien deformierbarer Körper. Im Allgemeinen wird jedoch davon ausgegangen, daß ein solcher Körper lediglich aus einem einzelnen, homogen verteilten Material bzw. einer Phase besteht. Die Annahme eines einphasigen Materials ist jedoch für viele Anwendungen nicht ausreichend. Nahezu alle Materialien sind - mehr oder minder - porös. Vor allem gewachsenes, biologisches Gewebe, dessen Beschreibung mit ein Schwerpunkt dieser Arbeit ist, muß als Mehrphasen-Material beschrieben werden.

Eine kurze Einführung in die theoretischen Grundlagen der Bruchmechanik erfolgt im ersten Teil von Kapitel 3. Der zweite Teil des Kapitels befaßt sich mit der Eingliederung der Bruchmechanik-Grundlagen in einen kontinuumsbruchmechanischen Kontext. Eine detaillierte Betrachtung der kinematischen Zusammenhänge motiviert die Einführung einer kohäsiven, gemittelten Bruchfläche. Die eineindeutige geometrische Beschreibung der Bruchfläche ermöglicht in Konsequenz die Definition von modifizierten Bilanzgleichungen. Diese modifizierten Bilanzgleichungen beinhalten auch jeweils einen diskontinuierlichen Anteil; sie werden schwach, im Sinne eines RWP, für die im nächsten Kapitel beschriebene Diskretisierung umformuliert. Als Abschluß des dritten Kapitels ergibt die Untersuchung der Lokalisierung von Diskontinuitäten ein geeignetes Rißausbreitungskriterium für das Festkörperskelett.

Kapitel 4 stellt die numerische Umsetzung von Schädigungsprozessen für das vorherig entwickelte Zweiphasen-Materialmodell vor. Die numerische Umsetzung erfolgt auf Basis der Finite-Elemente-Methode (FEM). Die zeitliche Diskretisierung erfolgt dabei über einen impliziten Lösungsansatz. Der diskontinuierliche Anteil der modifizierten Bilanzgleichungen aus Kapitel 3 wird durch eine Erweiterung der FEM betrachtet. Das Grundprinzip dieser Erweiterung - auch bekannt als "extended Finite-Element Method" (XFEM) - wird zunächst anhand eines Beispiels aus dem Bereich von elastisch-inelastischem Materialverhalten eingeführt. Jenes Beispiel führt vorab zu der Entwicklung einer weiteren numerischen Methode, der sogenannten "augmented Finite-Element Method" (AugFEM). Als Konsequenz der diskontinuierlichen Diskretisierung des RWP ist ein besonderes Augenmerk auf die numerische Integration zu richten. Die lokalen Informationen über den elementweisen Durchgang der Bruchfläche, sprich, die Diskontinuität, wird mittels des aus der dreidimensionalen Computervisualisierung bekannten "Marching Cubes Algorithm" (MCA) berechnet. Diese lokale Berechnung erfordert leistungsfähige Techniken für die globale numerische Nachverfolgung der Diskontinuitäten. Im Rahmen dieser Arbeit wird der "Global Tracking Algorithm" (GTA) verwendet. Dadurch wird das Gleichungsystem um eine dritte Bilanzgleichung erweitert.

Das letzte Hauptkapitel, Kapitel 5, präsentiert numerische Beispiele, die auf Basis der theoretischen Aspekte aus den vorangegangenen Kapiteln berechnet sind. Im ersten, zweidimensionalen numerischen Beispiel wird der Flüssigkeitsaustausch innerhalb einer Rißöffnung eines hydrierten Gewebequerschnitts simuliert. Final befassen sich dreidimensionale Beispiele mit der Problemstellung einer Fraktur eines menschlichen Oberschenkelhalsknochens.