Quantum thermodynamics under observation : the influence of quantum measurements

Abstract

The rather new field of quantum thermodynamics intends to derive thermodynamics from quantum mechanics, as well as to study thermodynamical behavior of quantum systems. It turns out that, indeed, thermalization can be obtained even for very small quantum systems due to the interaction with an appropriate environment. The consideration of an ensemble, as in statistical mechanics, is not necessary. However, the total system - consisting of system and environment - in quantum thermodynamics is usually considered to be closed. In particular, there exists no interaction with an external observer. Since quantum measurements typically influence the measured system, one may wonder which influence such an observation will have in the quantum thermodynamical setting.

In this thesis, we study this influence of measurements in quantum thermodynamical systems. It turns out that various concepts known from statistical mechanics arise from such a "quantum thermodynamics under observation", although they do not have any meaning in the isolated quantum thermodynamical setting.

The model discussed in the first part consists of a two-level system coupled to a large spin environment, the magnetization of which is measured periodically. This leads to quasi-classical trajectories for the system and - as in statistical mechanics - thermalization and temperature only have a meaning in terms of an ensemble average or a long-time average. Calculating these averages, we prove the ergodicity of the system. Interestingly, the entropy of the obtained attractor state depends on the time between the measurements and can be shown to be connected with the subjective lack of knowledge of the observer. In case of optimal measurements, the ensemble averaged state of the system under periodic measurements equals the state of the system in the quantum thermodynamical model without measurements.

Introducing a detuning between system and environment, we find that the system can be prepared in almost arbitrary thermal states due to the periodic measurements. Even the creation of inversion becomes possible.

As shown in numerical simulations, our results, which were analytically obtained for large environments, are even applicable to describe the behavior of the system coupled to small environments consisting of only a few spins. Besides measurements of the environment, we also study direct projective measurements of the system, as well as measurements with finite duration, obtaining that the dynamics of the system is almost independent of the concrete realization of the measurements.

In the second part of the thesis, we discuss the meaning of temperature fluctuations in quantum thermodynamical systems. In statistical mechanics, there exist different approaches to the problem of temperature fluctuations, which lead to the well-known temperature fluctuation formula. The nature and operational accessibility of these fluctuations, however, remains rather unclear. We argue that according to quantum thermodynamics a system relaxes into a quasi-stationary thermal state and therefore the temperature does not fluctuate. However, since temperature is not an observable, it can only be determined indirectly. For modular systems, we show that the fluctuations of the temperature estimate obtained from a single energy measurement, indeed, are given by the temperature fluctuation formula derived in statistical mechanics, but only within a certain temperature range. The validity range of this formula increases with increasing size of the system. Thus, one can conclude that these "temperature fluctuations" can be interpreted as representing a fundamental limit for the instantaneous determination of temperature.

Das relativ neue Gebiet der Quantenthermodynamik befasst sich sowohl mit der Begründung der Thermodynamik aus der Quantenmechanik, als auch mit dem thermodynamischen Verhalten von Quantensystemen. Es stellt sich heraus, dass Thermalisierung selbst bei sehr kleinen Quantensystemen durch ihre Wechselwirkung mit einer geeigneten Umgebung auftreten kann. Die Betrachtung eines Ensembles wie in der statistischen Mechanik ist hier nicht notwendig. Allerdings wird das Gesamtsystem, bestehend aus System und Umgebung ,in der Quantenthermodynamik üblicherweise als abgeschlossen betrachtet. Insbesondere existiert keine Wechselwirkung mit einem externen Beobachter. Da quantenmechanische Messungen typischerweise das gemessene System beeinflussen, stellt sich die Frage, welche Auswirkungen eine solche Beobachtung quantenthermodynamischer Systeme hat.

In dieser Arbeit wird daher der Einfluss von Messungen in quantenthermodynamischen Systemen untersucht. Es stellt sich heraus, dass sich verschiedene Konzepte der statistischen Mechanik, welche in der Quantenthermodynamik ohne Messungen keine Bedeutung haben, aus dieser “beobachteten Quantenthermodynamik” ergeben.

Im ersten Teil der Arbeit wird als Modell ein Zwei-Niveau-System, welches an eine große Spinumgebung gekoppelt ist, betrachtet. Dabei wird periodisch die Magnetisierung der Umgebung gemessen. Dies führt zu quasi-klassischen Trajektorien für das System und Thermalisierung tritt wie in der statistischen Mechanik nur noch im Ensemblemittel bzw. Langzeitmittel auf. Durch Berechnung dieser Mittelwerte kann die Ergodizität des Systems bewiesen werden. Interessanterweise hängt die Entropie des Attraktorzustandes von der Zeit zwischen den Messungen ab und ist verknüpft mit der subjektiven Unkenntnis des Beobachters. Im Falle optimaler Messungen stimmt der Zustand im Ensemblemittel unter dem Einfluss der Messungen gerade mit dem Zustand des Systems im quantenthermodynamischen Modell ohne Messungen überein.

Durch Einführen einer Verstimmung zwischen System und Umgebung, lässt sich das System mithilfe der periodischen Messungen in praktisch beliebigen thermischen Zuständen präparieren. Selbst das Erzeugen von Inversion wird dadurch möglich.

Wie numerische Simulationen zeigen, lassen sich die für große Umgebungen analytisch hergeleiteten Ergebnisse noch selbst bei kleinen Umgebungen, welche aus wenigen Spins bestehen, anwenden, um das Verhalten des Systems zu beschreiben. Neben den Messungen der Umgebung werden auch direkte Messungen des Systems sowie Messungen mit endlicher Dauer untersucht. Dabei zeigt sich, dass die Dynamik des Systems praktisch unabhängig von der konkreten Realisierung der Messungen ist.

Im zweiten Teil der Arbeit wird die Bedeutung von Temperaturfluktuationen im Rahmen der Quantenthermodynamik diskutiert. In der statistischen Mechanik gibt es verschiedene Zugänge zum Problem der Temperaturfluktuationen, welche zu der wohlbekannten Temperaturfluktuationsformel führen. Die Bedeutung und operationale Zugänglichkeit dieser Fluktuationen bleibt jedoch oft unklar. Für quantenthermodynamische Systeme treten solche Temperaturfluktuationen nicht auf, da das System in einen quasi-stationären thermischen Zustand relaxiert. Allerdings ist die Temperatur keine Observable und kann daher nur indirekt bestimmt werden. Für modulare Systeme kann nun gezeigt werden, dass die Fluktuationen des Temperaturschätzwertes, welcher durch eine einzelne Energiemessung gewonnen wurde, tatsächlich durch die aus der statistischen Mechanik bekannte Temperaturfluktuationsformel beschrieben werden, wenn auch nur innerhalb eines gewissen Temperaturbereiches. Dieser Bereich wird mit wachsender Größe des betrachteten Systems immer größer. Im Rahmen der Quantenthermodynamik repräsentieren die “Temperaturfluktuationen” demnach eine fundamentale Grenze für die instantane Bestimmbarkeit der Temperatur.