Universal bounds on efficiency and power of heat engines with broken time-reversal symmetry

Abstract

Ever since James Watt's steam engine, the urge to explore the fundamental principles governing the performance of devices that convert thermal energy into useful work was one of the major quests in thermodynamics. From a conceptual point of view, such heat engines can be divided into two classes. Cyclic engines use a reciprocating piston to generate mechanical work by periodically compressing and expanding a working fluid at varying temperature. Thermoelectric engines consist of two heat and particle reservoirs, which are permanently coupled by a conductor. Due to the Seebeck effect, the heat current flowing naturally in this setup can drive a particle current into the same direction thus generating electrical power.

Over the last decades, substantial efforts have gone into the miniaturization of both types of devices down to micro- and nanometers. On theses small scales, their operation principles can be scrutinized under the microscope by virtue of precise measurements of characteristic quantities like applied work or exchanged heat. In this thesis, we use the framework of stochastic thermodynamics to investigate the laws that determine the efficiency and power of mesoscopic heat engines in the linear response regime. By using primarily algebraic methods, we obtain three major results. First, we show for the paradigmatic class of multi-terminal thermoelectric heat engines that current conservation implies stronger bounds on the efficiency than the bare second law. These bounds become successively weaker as the number of involved terminals increases. Second, we prove a universal bound on the power of multi-terminal engines, which is a quadratic function of their efficiency and does not depend on model-specific parameters like the number of terminals. In particular, this result rules out the option of Carnot efficiency at finite power, which the laws of thermodynamics would, in principle, allow as Benenti et al. recently pointed out [Phys. Rev. Lett. 106, 230602 (2011)]. Finally, after developing a universal framework for the thermodynamic description of periodically driven systems, as our third main result, we show that the same efficiency-dependent bound on power holds for cyclic micro- and nano heat engines, which obey a Fokker-Planck-type dynamics.

Our results constitute a significant step towards a better understanding of heat to work conversion on small scales and reveal an intriguing similarity between cyclic and thermoelectric heat engines. Whether this analogy suggests the existence of a so-far-undiscovered universal principle that applies to both types of devices and leads to a bound on power for any heat engine operating in linear response remains an exciting topic for future research.

Seit der Erfindung der Dampfmaschine durch James Watt ist es eine der wesentlichen Triebkräfte hinter der Entwicklung der Thermodynamik, die grundlegenden Prinzipien zu verstehen, welche die Effizienz und Leistung von Maschinen bestimmen, die thermische Energie in nutzbare Arbeit umwandeln. Aus konzeptioneller Sicht können zwei Arten solcher Wärmekraftmaschinen unterschieden werden. Zyklische Maschinen verwenden einen beweglichen Kolben, um ein Arbeitsmedium, welches abwechselnd in Kontakt mit einem heißen und einem kalten Wärmebad gebracht wird, periodisch zu komprimieren und zu expandieren. Aufgrund des Druckunterschieds zwischen heißem und kaltem Medium kann hierbei ein Nettogewinn an mechanischer Arbeit erzielt werden. Im Gegensatz dazu bestehen thermoelektrische Generatoren aus zwei Teilchenreservoiren, die permanent durch einen Leiter verbunden sind. Aufgrund des Seebeck-Effekts kann der in diesem Aufbau entstehende Wärmestrom einen Teilchenstrom gegen ein äußeres Feld treiben und so elektrische Energie erzeugen.

In den letzten Jahrzehnten ist es gelungen, beide Arten von Maschinen stark zu miniaturisieren. Auf der Skala von Mikro- bzw. Nanometern lassen sich ihre Funktionsprinzipien durch präzise Messungen charakteristischer Größen wie Wärme und Arbeit detailliert studieren. In dieser Arbeit verwenden wir die Methoden der stochastischen Thermodynamik, um die Gesetzmäßigkeiten zu untersuchen, welche die Effizienz und Leistung mesoskopischer Wärmekraftmaschinen im linearen Regime bestimmen. Unter Verwendung hauptsächlich algebraischer Methoden gelangen wir zu drei wesentlichen Ergebnissen. Zunächst wenden wir uns der paradigmatischen Modellklasse von Multi-Terminal Maschinen zu. Wir zeigen, dass das elementare Prinzip der Stromerhaltung zu stärkeren Schranken an deren Wirkungsgrad führt als die bloßen Gesetze der Thermodynamik. Diese Schranken werden mit steigender Zahl von Terminals sukzessive schwächer. Weiterhin beweisen wir eine universelle Schranke an die Leistung solcher Multi-Terminal Systeme, die nicht von modellspezifischen Parametern wie der Zahl der Terminals abhängt. Dieses Resultat schließt insbesondere die Möglichkeit aus, den Carnot-Wirkungsgrad bei endlicher Leistung zu erreichen, obwohl die Gesetze der Thermodynamik dies prinzipiell erlauben würden, wie kürzlich von Benenti et al. aufgezeigt wurde [Phys. Rev. Lett. 106, 230602 (2011)]. Schließlich entwickeln wir einen universellen theoretischen Rahmen für die thermodynamische Beschreibung von periodisch getriebenen Systemen. Unter Verwendung unseres neuen Formalismus zeigen wir, dass die Leistung von zyklischen Mikro- und Nanomaschinen, die sich durch eine Fokker-Planck Gleichung beschreiben lassen, ebenfalls durch eine quadratische Funktion ihrer Effizienz beschränkt ist. Diese Schranke stellt das dritte Hauptergebnis der vorliegenden Arbeit dar.

Unsere Resultate legen eine zunächst unerwartete Analogie zwischen zyklischen und thermoelektrischen Wärmekraftmaschinen offen. Es bleibt eine spannende Frage für zukünftige Untersuchungen, ob diese Ähnlichkeit auf ein bislang unbekanntes, universelles Prinzip hindeutet, welches eine allgemeine Schranke an die Leistung sowohl zyklischer, als auch thermoelektrischer Wärmekraftmaschinen impliziert, die im linearen Regime arbeiten.