Validity and attractivity of amplitude equations

Abstract

Whitham's equations and the Ginzburg-Landau equation belong to a set of famous amplitude equations containing the KdV equation, the NLS equation, Burgers equation, and so-called phase diffusion equations. They play an important role in the description of spatially extended dissipative or conservative physical systems. Except of Whitham's system for all other amplitude equations there exists a satisfying mathematical theory showing that the original system behaves approximately as predicted by the associated amplitude equation. In the first part of this work we therefore derive Whitham's equations for a coupled system of equations, namely a Klein-Gordon-Boussinesq model. Subsequently we prove the validity of Whitham's equations for this system. The combination of our scaled ansatz adapted to Whitham's equations with the resonance structure of our system poses a new challenge. In order to prove the approximation results for Whitham's equations we will require some infinite series of normal transformations, for which we need to prove the convergence. In the second part we prove the attractivity of the Ginzburg-Landau manifold for a toy problem inspired by Marangoni convection. In comparison to the previous classical situation in our case the curve of eigenvalues possesses additionally a marginally stable mode at the origin. Therefore, we will need to modify the requirements for the attractivity result and the method of proof.

Whithams Gleichungen und die Ginzburg-Landau-Gleichung gehören zu einer Gruppe bekannter Amplitudengleichungen, zu der auch die KdV-Gleichung, die NLS-Gleichung, Burgers Gleichung und die sogenannte Phasendiffusionsgleichung zählen. Diese Gleichungen spielen eine wichtige Rolle bei der Beschreibung von räumlich ausgedehnten dissipativen oder konservativen physikalischen Systemen. Mit Ausnahme von Whithams Gleichungen existiert für alle andere Amplitudengleichungen bereits eine ausreichende mathematische Theorie, welche nachweist, dass das ursprüngliche System sich annähernd so verhält, wie es die dazugehörende Amplitudengleichung voraussagt. Im ersten Teil der vorliegenden Arbeit leiten wir zunächst Whithams Gleichungen für ein gekoppeltes System von Gleichungen, nämlich für ein Klein-Gordon-Boussinesq-Modell, her. Im Anschluss beweisen wir die Gültigkeit von Whithams Approximation für dieses System. Die Kombination aus unserem Ansatz mit der Resonanzstruktur des verwendeten Systems stellt uns vor eine neue Herausforderung. Um jenes Aproximationsresultat für Whithams Gleichungen zu beweisen, werden wir eine unendliche Reihe von Normalformtransformationen benötigen, für welche die Konvergenz nachzuweisen ist. Im zweiten Kapitel beweisen wir die Attraktivität der Ginzburg-Landau Mannigfaltigkeit am Beispiel eines Modellproblems, inspriert durch das Marangoni Problem. Im Vergleich zu den bisherigen klassischen Situationen haben wir in unserem Fall zusätzlich eine marginal stabile Mode im Ursprung vorliegen. Deswegen müssen hier die Anforderungen und die Beweistechniken für das genannte Attraktivitätsresultat entsprechend modifiziert werden.