Coupling free flow and flow in porous media in biological and technical applications : from a simple to a complex interface description

Abstract

The objective of this work is the development of model concepts and methods for the coupling of free flow and flow in porous media. Coupling concepts of varying complexity ranging from a simple to a pore-scale to a complex interface approach are derived. The main focus is the development and testing of an REV-scale coupling concept that accounts for drop dynamics at the interface. The developed coupling concepts are based on the assumption of thermodynamic equilibrium and on flux balances. The formulation of mechanical equilibrium in the pore-scale and complex interface concept is challenging due to the scale-dependent definition of pressure. The combination of microscopic and macroscopic pressure formulations causes pressure jumps at the interface and non-physical pressure gradients. Hence, an extensive discussion of the pressure conditions is given. The coupled model is implemented in the C++ simulator DuMux (Flemisch et al., 2011) using the mortar method. The applicability of the developed concepts is assessed on the basis of two applications: transvascular exchange and drop dynamics in PEM fuel cells.

In Mosthaf et al. (2011) and Baber et al. (2012), we develop a simple interface concept for coupling non-isothermal compositional two-phase flow in the porous-medium with a non-isothermal compositional single-phase system in the free-flow region. The concept is based on the two-domain approach with a simple interface devoid of thermodynamic properties. In this work, the simple interface concept is applied to model transvascular exchange. The simulations reproduce filtration and reabsorption and reveal the influence of wall and tissue parameters on the final distribution of therapeutic agents. However, the complex structure of the micro-vascular wall and the influence of the different pathways cannot be resolved by the presented approach.

In some applications, the complex structure of the interface and the processes happening therein cannot be described by a simple interface devoid of thermodynamic properties. In such cases, it might be beneficial to resolve the interface layer or interface region on the pore-scale. We present a first step towards a resulting coupled pore-/REV-scale model where the interface is described by a bundle-of-tubes approach. The coupling concept between the one-phase free-flow, the pore-scale and the two-phase porous-medium model is based on flux continuity and the assumption that pore-and REV-scale pressure are equal.

We develop an REV-scale interface concept - the complex interface concept - that describes drop formation, growth and detachment on hydrophobic interface between free and porous-medium flow. The interface stores the mass and energy of the drops without resolving them. The direct exchange between free-flow and porous-medium region next to the drop is also part of the coupling concept since it preserves the exchange processes described by the simple interface concept. The fraction of the interface which is covered by drops is used to obtain an area-weighted average of the coupling conditions with and without drop so that coupling conditions for the whole interface are obtained.

The complex interface concept captures drop formation, growth and detachment. These processes are influenced by the conditions of both the free-flow and porous-medium region. The temporal evolution of the drop volume is an outcome of the model. The number of drops that can form on the interface is defined a priori by choosing the size of a drop REV. Neither the influence of the drops on the free-flow conditions nor film flow or sliding and merging of drops is included since the focus is on the interface description. The model is applied to simulate drop formation in the cathode of PEM fuel cells. In fuel cells, water is generated by the electro-chemical reaction in the catalyst layer and flows through the hydrophobic porous fibre structure of the GDL. Reaching the GC, water forms drops on the hydrophobic interface between GC and GDL. The drops significantly influence the water management in fuel cells which must be optimised to achieve good performance and durability. The numerical results show that it is possible to include drop dynamics in the REV-scale coupling conditions between free and porous-medium flow. Drop formation, growth and detachment are represented correctly, if the evaporation from the drop surface is neglected. The interface-coverage ratio, which is an indicator for the quality of the water management, can be predicted. The simulations for a higher number of drops suggest that the interface conditions dominate the system. A parameter study shows that interface wettability and free-flow velocity have a significant influence on the drop growth and detachment. In summary, this work reveals the potential of the developed coupling concepts to deal with realistic problems and exposes the need for further improvement and development.

Das Ziel dieser Arbeit ist die Weiterentwicklung von Modellkonzepten und Methoden zur Beschreibung von Strömungs- und Transportprozessen in gekoppelten Systemen aus freier Strömung und porösem Medium. Das Hauptaugenmerk liegt auf der Entwicklung eines Modellkonzepts zur Beschreibung von Tropfenbildung, -wachstum und -ablösung an der Grenzfläche der beiden Gebiete. Eine derartige Tropfendynamik beeinflusst zum Beispiel das Wassermanagement in Polymer-Elektrolyt-Membran(PEM)-Brennstoffzellen. Die entwickelten Kopplungsbedingungen basieren auf der Bilanzierung von Massen-, Impuls- und Energieflüssen sowie der Annahme von thermodynamischem Gleichgewicht an der Grenzfläche. Im Rahmen der Arbeit wurden drei Ansätze mit unterschiedlichem Komplexitätsgrad entwickelt und in die C++-Simulationsumgebung DuMux implementiert. Die Anwendbarkeit der entwickelten mathematischen Modellkonzepte wird anhand zweier Bespiele gezeigt. Neben der bereits genannten Tropfendynamik in PEM-Brennstoffzellen, werden die Austauschprozesse zwischen kapillaren Blutgefäßen und umliegendem Gewebe untersucht.

Zunächst werden der Grenzfläche keine thermodynamischen Eigenschaften zugewiesen. Sie kann weder Masse noch Impuls noch Energie speichern. Dieses Konzept der einfachen Grenzfläche wurde in Mosthaf et al. (2011) und Baber et al. (2012) für nicht-isotherme Mehrkomponentensysteme mit einer Phase in der freien Strömung und zwei Phasen im porösen Medium entwickelt und in Mosthaf et al. (2014) zur Beschreibung von Verdunstungsprozessen aus feuchten Böden herangezogen. Im Rahmen dieser Arbeit wird der entwickelte Ansatz zur Modellierung von Austauschprozessen zwischen Blutgefäß und Gewebe verwendet. Um die Austauschprozesse im Modell abzubilden, wird ein System bestehend aus einer Kapillare (freie Strömung), der Kapillarwand und dem umliegenden Gewebe (poröses Medium) betrachtet. Die Kapillarwand ist als eine Zwischenschicht zu sehen, die freie Strömung und poröses Medium voneinander trennt. Sie wird hier als eine dünne, poröse Schicht mit einem Kontinuumsansatz modelliert. Die Simulationsergebnisse zeigen, dass sich die grundlegenden Prozesse, wie Filtration und Reabsorption, reproduzieren lassen.

Motiviert durch die begrenzte Anwendbarkeit des Modells in Bezug auf transvaskuläre Austauschprozesse, wird im Rahmen dieser Arbeit ein theoretischer Entwurf für einen Kopplungsansatz auf der Porenskala erarbeitet. Die Schicht zwischen freier Strömung und porösem Medium wird dabei durch ein Röhrenmodell beschrieben. Die Kopplungsbedingungen basieren auf analytischen Lösungen für eindimensionale Strömungen in Rohren und auf der Kontinuität der Flüsse.

Um Tropfenbildung-, wachstum und -ablösung beschreiben zu können, wurde das bestehende Kopplungskonzept erweitert, sodass die Masse und Energie der Tropfen von den Kopplungsbedingungen erfasst wird, ohne die Tropfenform und -verteilung aufzulösen. Das Kopplungskonzept der komplexen Grenzfäche folgt dem Kontinuumsansatz. Die exakte Position der Tropfen ist nicht bekannt; nur der Anteil der Grenzfläche, der mit Tropfen bedeckt ist, wird ermittelt. Das flächengewichtete Mittel aus Kopplungsbedingungen mit und ohne Tropfen liefert die Bedingungen für die gesamte Grenzfläche. Diese speichert nun die Masse und Energie der Tropfen und hat daher den Charakter einer komplexen Grenzfläche. Die mögliche Anzahl von Tropfen wird vor Simulationsbeginn festgelegt und sollte durch experimentelle Untersuchungen gestützt sein. Die zeitliche Entwicklung der Tropfenvolumina sowie der Anteil der Grenzfläche, der mit Tropfen bedeckt ist, können durch das Modell vorhergesagt werden. PEM Brennstoffzellen sind eine vielversprechende innovative Technologie, die in Kombination mit dem Ausbau erneuerbarer Energien das wachsende Mobilitätsbedürfnis der Gesellschaft effizient und emissionsarm befriedigen könnte. In Brennstoffzellen reagieren Wasserstoff und Sauerstoff zu Wasser. Die Wassermenge und -verteilung hat einen großen Einfluss auf die Leistung und Lebensdauer der Zelle. An der Grenzfläche zwischen Gaskanal und poröser Diffusionsschicht bilden sich Tropfen, die einerseits die Strömung im Kanal und andererseits die Bedingungen in der Diffusionsschicht signifikant beeinflussen. Die Simulationsergebnisse zeigen, dass das entwickelte Modell in der Lage ist, Tropfenbildung-, wachstum und -ablösung abzubilden, wenn die Verdunstung der Wassertropfen vernachlässigt wird. Eine Parameterstudie verdeutlicht den Einfluss der Tropfenzahl, der Strömungsgeschwindigkeit im Gaskanal und der Benetzungseigenschaften der Gasdiffusionsschicht. Zusammenfassend verdeutlicht diese Arbeit das Potential der entwickelten Kopplungskonzepte zur Beantwortung realistischer Fragestellungen und zeigt Möglichkeiten für die Weiterentwicklung und Verbesserung der Modelle auf.