Sketched stable planes

Abstract

Standard objects in classical (topological) geometry are the real affine and hyperbolic planes. Both of them can be seen as (open) subplanes of the real projective plane (endowed with the standard topology) and thus share a common theory. This may serve as a brief illustration of the importance of the notion of embeddability.

One particularly nice class of topological planes are the so called stable planes - in fact, the above examples are stable planes; as well as the projective planes over the real and complex numbers, Hamilton quaternions and Cayley octaves, the so called classical planes. Moreover, every open subplane of a stable plane again is a stable plane. Consequently, one way of understanding a given stable plane is trying to embed it into one of more profound acquaintanceship, preferredly one of the classical planes.

An elegant way of constructing stable planes uses stable partitions of Lie groups. Planes of that type can be treated more efficiently studying these groups along with certain stabilisers, the so called sketches, rather than the original geometries. This method has so far yielded results in several cases where intrinsic methods had not been gratifying.

Maier in his dissertation gives a classification of all 4-dimensional connected Lie groups which allow for a stable partition. Only one of them, the Frobenius group Gamma - the semidirect product of the real numbers and the 3-dimensional Heisenberg group - had not been expected, and it hosts an infinite number of stable partitions. Our objective is whether or not the resulting stable planes are embeddable into an already well known plane. Using sketches, it can be proved that none of these planes is embeddable into the classical complex projective plane.

As an interesting counterpoint, those planes - hostile as they are towards being embedded into classical planes - do contain an abundance of both, affine and non-affine 2-dimensional classical subplanes.

The full automorphism group of such a plane does not contain a certain selection of classical groups. Some conclusions can be drawn as to how soluble this automorphism group is : either it is soluble or it contains one copy of a subgroup with Lie algebra sl(2,R). The normaliser Gamma in the full automorphism group turns out to be soluble, after all.

On a more general basis, the interplay of being a sketched geometry and a stable plane is studied : Is there any particular reason why all the examples of sketched stable planes so far have been point homogeneous geometries? And indeed, any line homegeneous sketched stable plane is necessarily flag homogeneous.

Der Begriff der stabilen Ebenen verallgemeinert alltägliche klassische Ebenen wie die reelle affine Ebene oder die reelle hyperbolische Ebene. Besonders schöne Exemplare lassen sich aus Gruppen mit gewissen Partitionen konstruieren, die sogenannten skizzierten stabilen Ebenen. Die Gruppen, die solche stabilen Partitionen zulassen, sind sehr häufig Liegruppen und haben nach einem Satz von Löwen die Dimension 2, 4, 8 oder 16.

Maier klassifizierte alle vierdimensionalen Liegruppen mit stabilen Partitionen. Die stabilen Ebenen, die sich aus den vier Kandidaten ergeben, sind wohlbekannt - mit Ausnahme derer, die aus einer bestimmten Frobeniusgruppe Gamma, dem semidirekten Produkt aus den reellen Zahlen und der dreidimensionalen reellen Heisenberggruppe, entstehen. Diese Familie von Ebenen wird hier näher beleuchtet.

Neben dem erwähnten Konstruktionsmechanismus spielt der Begriff der Einbettung eine tragende Rolle. Beispielsweise lassen sich die affine und auch die hyperbolische reelle Ebene als offene Unterebenen einbetten in die reelle projektive Ebene, erschließen sich mithin dem gemeinsamen Zugriff mit Hilfe nur einer Theorie. Umgekehrt ist jede offene Unterebene einer stabilen Ebene wiederum eine stabile Ebene. Auf diesem Wege kann man sich also mit einer fremden stabilen Ebene vertraut machen - indem man nämlich eine bekannte Ebene findet, in die sie einbettbar wäre. Die begehrtesten "Betten" sind natürlich die klassischen stabilen Ebenen, also die projektiven Ebenen über den reellen Zahlen, den komplexen Zahlen, den Hamiltonschen Quaternionen und den Cayleyschen Oktaven.

Es wird nachgewiesen, dass keine der aus Gamma konstruierten stabilen Ebenen auf irgendeinem Wege in die vierdimensionale komplexe projektive Ebene eingebettet werden kann. Dieses Ergebnis schränkt die Suche nach der vollen Automorphismengruppe einer solchen Ebene deutlich ein: gewisse klassische Gruppen können nicht als Automorphismengruppen auftauchen, und mithin ist die volle Automorphismengruppe entweder selbst auflösbar oder enthält genau ein Exemplar einer Untergruppe mit Liealgebra sl(2,R). Der Normalisator der Gruppe in der vollen Automorphismengruppe der Ebene ist auflösbar.

Umgekehrt ergibt sich, dass diese Ebenen selber eine Vielzahl von zweidimensionalen Unterebenen enthalten, die affine oder nichtaffine Unterebenen der reellen affinen Ebene sind.

In allgemeinerem Kontext wird ausgeleuchtet, weshalb bislang keine anderen als punkthomogene skizzierte stabile Ebenen bekannt sind: jede geradenhomogene skizzierte stabile Ebene ist notwendigerweise bereits fahnenhomogen.