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Nichtlineare Optimierung regionaler Gravitationsfeldmodelle aus SST-Daten
(2012) Antoni, Markus; Keller, Wolfgang (Prof. Dr. sc. techn.)
Die Bestimmung des Schwerefeldes der Erde ist noch immer eine große Herausforderung in der Geodäsie. Die globalen Modelle basieren insbesondere auf der Beobachtung von Satelliten. In der üblichen Analyse durch Kugelflächenfunktionen werden oft nicht alle Informationen erfasst, da die dafür notwendige gleichmäßige Verteilung der Daten nicht realisierbar ist. Um die vernachlässigten lokalen Details zu erfassen, kann man eine Verbesserung der Lösung durch lokale Basisfunktionen bestimmen. In der Analyse spaltet man das Signal und das Modell in einen globalen und einen residualen Anteil auf. Die Modellierung des globalen Feldes erfolgt dabei durch Kugelflächenfunktionen mit bekannten sphärisch-harmonischen Koeffizienten, während das verbleibende Signal in dieser Arbeit durch optimierte radiale Basisfunktionen approximiert wird. Radiale Basisfunktionen werden in vielen Disziplinen zur Modellierung von Daten mit unregelmäßiger Verteilung verwendet, wobei die Lösung durch die Wahl der Zentren, die Skalierungsfaktoren und die Form der Basisfunktionen beeinflusst wird. Auf der Kugel lässt sich jede (sphärische) radiale Basisfunktion durch eine Reihenentwicklung nach den Legendrepolynomen darstellen. Die Form wird durch die Zahlenfolge der Legendre-Koeffizienten modelliert, die häufig auf einen skalaren Formparameter zurückgeführt werden. Als (Pseudo-)Beobachtungen werden die Potentialwerte entlang des Orbits, die Line-of-Sight Gradienten und die Range-Rate behandelt, wobei die letzten beiden Signale vor allem auf die geodätische GRACE-Mission abzielen. Das Potential im Orbit wird durch das Energieintegral für einen einzelnen Satelliten berechnet, während die Line-of-Sight Gradiometrie aus den Abstandsmessungen der GRACE-Mission die zweite Ableitung des gravitativen Potentials in Flugrichtung approximiert. Beide Beobachtungen können als in-situ Messungen aufgefasst werden, deren Signale nur von den Positionen im Schwerefeld, nicht aber von den früheren Potentialwerten beeinflusst werden. Das residuale Signal wird jeweils durch eine Summe aus radialen Basisfunktionen modelliert, deren Reihenentwicklung nach den Legendrepolynomen im Weiteren als Legendre-Darstellung bezeichnet wird. In dieser Arbeit wird die sogenannte Wigner-Darstellung (der Basisfunktionen) für Kreisbahnen entwickelt, die auf einer Parametrisierung des Potentials durch die Keplerelemente und die Verwendung der Wigner-d-Funktionen basiert. Diese Variante vereinfacht die partiellen Ableitungen nach den Keplerelementen und den Basisparametern sowie deren Implementierung. Für die nichtlineare Optimierung werden beide Darstellungen des Potentials und der Line-of-Sight Gradienten nach den Parametern der Basisfunktionen differenziert. Mit der Range-Rate wird auch die eigentliche Messung der GRACE-Mission durch eine Überlagerung des Referenzfeldes und einen residualen Anteil aus radialen Basisfunktionen modelliert. Durch die Orbitintegration enthält diese Beobachtung Informationen über frühere Zustände des Schwerefeldes in der Form von Positionen und Geschwindigkeiten der Satelliten und kann daher nicht mehr als in-situ Messung betrachtet werden. Die Ableitungen der Range-Rate nach den gesuchten Parametern werden üblicherweise durch die Lösung der Variationsgleichungen bestimmt. Durch die Approximationen der Hill-Theorie und die Wigner-Darstellung erhält man eine geschlossene Formel, die direkt nach den Parametern der Basisfunktionen differenziert werden kann. In der (residualen) Analyse von Satellitenbeobachtungen werden die Zentren und Formparameter der radialen Basisfunktionen häufig fixiert, was die Aufgabe auf die Bestimmung der linearen Skalierungsfaktoren reduziert. Um viele lokale Details zu erfassen, ist eventuell eine große Anzahl an Basisfunktionen notwendig. Dies kann zu einer Überparametrisierung und damit zu nummerischen Problemen in der Lösung führen. In dieser Arbeit wird eine Alternative entwickelt, die die Signale durch eine minimale Anzahl an Basisfunktionen modelliert. Für eine bessere Approximation des Signals werden neben der Skalierung auch die Zentren und die Formparameter in einer nichtlinearen Optimierung aus den Daten geschätzt. Für die Analyse werden globale und lokale Optimierungsverfahren diskutiert und jeweils exemplarisch ein Ansatz implementiert. Da die Lösungen in den (globalen) genetischen Algorithmen nicht reproduzierbar sind, wird ein lokales Verfahren bevorzugt. Der Ansatz bestimmt geeignete Startwerte der Basisparameter aus den Daten und optimiert diese Werte iterativ durch ein Trust-Region-Verfahren. Die Methode erlaubt eine Einschränkung der Parameter auf ein vorgegebenes Intervall und führt in der Regel zu einer Konvergenz in der Nähe der Startwerte. Die Optimierung wird an den Daten einer simulierten GRACE-Mission getestet. Die Range-Rate erweist sich für den entwickelten Algorithmus als nicht geeignet für die nichtlineare Optimierung der Basisparameter aus einem komplexeren Schwerefeld. In einem vereinfachten Modell lassen sich bei geeigneten Startwerten vor allem die Positionen der Zentren aus der Range-Rate verbessern. Dagegen ist die Analyse der behandelten in-situ Beobachtungen durch radiale Basisfunktionen erfolgreich und approximiert das Signal im Orbit in einer hohen Qualität. Bereits mit relativ wenigen Basisfunktionen erreicht man eine Korrelation zwischen dem Signal und der Approximation im Orbit von 90-100 %, wobei die statistischen Größen der Differenz mindestens um eine Größenordnung reduziert werden.