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R-Funktionen für Finite Elemente Approximationen mit web-Splines
(2002) Boßle, Marco
Das web-Verfahren ist ein Finites Elemente Verfahren, das auf B-Splines beruht. Es verwendet web-Splines (weighted extended b-Splines) als Ansatzfunktionen für die Approximation der schwachen Lösung einer Differentialgleichung. Die herausragendsten Vorteile dieses Verfahrens sind die Unabhängigkeit von Triangulierungen, da stets auf einem regelmäßigen Gitter gerechnet wird, und die freie Wahl der Ordnung der Finiten Elemente ohne Mehraufwand. Für die Einhaltung der Randbedingungen werden die Ansatzfunktionen mit einer geeigneten Funktion multipliziert. Diese Funktionen müssen einige Eigenschaften besitzen, die von großer Wichtigkeit für das Verfahren sind. V.L. Rvachev fand bereits in den sechziger Jahren mehrere Familien von Funktionen (R-Funktionen), die über die geforderten Eigenschaften hinaus noch die Fähigkeit besitzen, boolsche Kombinationen von Gebieten auf Gewichtsfunktionen anzuwenden. Die Funktionen erlauben also die automatische, sukzessive Berechnung von Gewichtsfunktionen auf Gebieten, die aus mehreren einfachen Grundgebieten zusammengesetzt wurden. Die vorliegende Arbeit betrachtet diese Funktionsfamilien. Der eine Hauptteil der Arbeit ist die Betrachtung dieser Funktionen und der Beweis von grundlegenden Aussagen über Differenzialeigenschaften und deren Auswirkungen auf das web-Verfahren. Die Funktionen werden im Detail analysiert und miteinander verglichen. Als zugrundeliegende Einheiten, aus denen komplexere Gebiete definiert werden können, dienen in dieser Arbeit Kegelschnitte. Der zweite Hauptteil der Arbeit setzt sich mit der Darstellung und Verwaltung der Ränder von Gebieten auseinander, was speziell für die Integration auf diesem Gebiet zur Lösung von Differenzialgleichungen notwendig ist. Die Ränder werden als rationale quadratische Bezierkurven verwaltet, die bei der Kombination von Gebieten geeignet behandelt werden müssen. Im Laufe dieser Arbeit entstand das Programmpaket QBE, das die Möglichkeit bietet, Gebiete sukzessive aus Kegelschnitten aufzubauen und eine Gewichtsfunktion darauf berechnen zu lassen. Die Arbeit schließt mit einigen Beispielen und der Anleitung zur Handhabung des Programms.