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Schnelle Randelementmethoden zur Simulation von elektrischen Wirbelstromfeldern sowie ihrer Wärmeproduktion und Kühlung
(2005) Breuer, Jens; Wendland, Wolfgang (Prof. Dr.-Ing. Dr. h.c. (em.))
Gegenstand dieser Arbeit ist die mathematische Beschreibung und numerische Simulation von Geräten der elektrischen Energietechnik wie Transformatoren, Hochspannungsschaltanlagen und Generatoren. Insbesondere ist das Ziel der Arbeit die Modellierung und Berechnung der elektrischen Wirbelstromverteilungen, sowie abgeleiteter Größen wie Verlustdichte-Verteilung und Temperaturverteilung. Im Rahmen dieser Arbeit wird ein Modell zur Berechnung elektrischer Stromdichten hergeleitet, mit dessen Hilfe die Daten eines Schaltungsmodells (Stromstärken und Frequenz der angelegten elektrischen Wechselströme) an vorgegebenen Kontakten in das Wirbelstrommodell eingeprägt werden können. Dazu wird aus den vorgegebenen Daten eine geeignete Übergangsrandbedingung für das magnetische Feld berechnet. Diese ergibt sich aus der Lösung eines Hilfsproblems in den Kontaktquerschnitten und anschließender Berechnung von Quelltermen auf dem Rand. Die zeitharmonischen Maxwellschen Gleichungen werden unter Vernachlässigung der Verschiebungströme durch die Wirbelstromgleichungen approximiert. Das Gesamtsystem wird dann als System von Randintegralgleichungen geschrieben und mit Hilfe der Randelementmethode gelöst. Zur Behandlung von Systemen mit wechselnder Leitfähigkeit wird eine Gebietszerlegungsmethode auf das Wirbelstromproblem übertragen. Hierzu ist die Definition einer Dirichlet-Neumann-Abbildung notwendig. Dabei ist zu beachten, daß der zugehörige Einfachschichtpotentialoperator nicht invertierbar auf dem entsprechenden Energieraum ist. Die Erweiterung des Systems um geeignete Lagrange-Multiplikatoren erlaubt eine Stabilisierung des Einfachschichtpotentials, so daß am Ende die eindeutige Lösbarkeit des Systems gezeigt werden kann. Zur Diskretisierung werden Raviart-Thomas-Elemente auf dem Rand verwendet. Der Nachweis einer diskreten Stabilitätsbedingung liefert dann eindeutige Lösbarkeit der Galerkin-Randelementmethode und quasioptimale asymptotische Fehlerabschätzungen. Zur Simulation des Wärmeübergangs wird ein spezielles Modell mit vorgegebenem Geschwindigkeitsprofil für den Wärmeabtransport im Außenraum verwendet. Die Geschwindigkeit der Kühlströmung wird als von der Temperatur unabhängig vorausgesetzt. Neben dem vollen nichtlinearen Wärmetransportproblem werden ein vereinfachtes linearisierbares Wärmeleitungsproblem und ein Grenzschichtmodell zur Bestimmung einer Randbedingung mit Hilfe einer gewöhnlichen Differentialgleichung im Strömungsgebiet hergeleitet und deren eindeutige Lösbarkeit unter physikalisch sinnvollen Annahmen an die Wärmeleitfähigkeit und die Geschwindigkeit der Strömung gezeigt. Zum Beweis der eindeutigen Lösbarkeit für das nichtlineare Wärmetransportproblem wird das Problem linearisiert. Die Existenz einer Lösung erhält man durch sukzessive Approximation aus einer Folge von Lösungen des linearen Problems. Zum Nachweis der Eindeutigkeit wird ein schwaches Maximumprinzip für quasilineare elliptische Gleichungen verwendet. Auf diese Weise läßt sich auch die Existenz einer Finiten Elemente Lösung des nichtlinearen Wärmetransportproblems, sowie deren asymptotische Konvergenz zeigen. Das vereinfachte Modell kann mit Hilfe der sogenannten Kirchhoff-Transformation auf die Laplace-Gleichung mit nichtlinearer Übergangsrandbedingung zurückgeführt werden. Zur Diskretisierungen können dann wieder Randelemente eingesetzt werden. Neben der Modellierung und Analysis des Wirbelstromproblems mit Wärmeübertragung ist auch deren numerische Simulation Teil dieser Arbeit. Zur Konstruktion schneller Randelementmethoden, sowohl für das Wirbelstromproblem, als auch für das Wärmetransportproblem, wird das sogenannte Adaptive Cross Approximation Verfahren (M.Bebendorf, S.Rjasanow) verwendet. Hierbei wird die sogenannte asymptotische Glattheit, d.h. Glattheit der Integralkerne für voneinander separierte Quell- und Auswertungspunkte, ausgenutzt, indem dort der Kern durch eine geeignete Entwicklung approximiert wird. Für die Integralkerne der Wirbelstromgleichungen wird im Rahmen der Arbeit die asymptotische Glattheit gezeigt. Insbesondere werden die Glattheitskonstanten, die für den numerischen Aufwand eine wesentliche Rolle spielen, explizit bestimmt. Als Anwendung wird das elektrische Wirbelstromfeld in einem Magnetventil und einer Verteilerschiene numerisch berechnet.