Browsing by Author "Dippon, Jürgen"

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    Asymptotische Entwicklungen des Robbins-Monro-Prozesses
    (1998) Dippon, Jürgen; Walk, Harro (Prof. Dr.)
    Zur Schätzung der Nullstelle x einer unbekannten Regressionsfunktion, deren Funktionswert f(X(n)) an der Stelle X(n) nur mit einem zufälligen Fehler V(n) mittels Y(n)=f(X(n))-V(n) beobachtet werden kann, schlugen Robbins und Monro (1951) die Rekursion X(n+1)=X(n)-a/n Y(n) vor. In der vorliegenden Arbeit werden Edgeworth-Entwicklungen des Robbins-Monro-Prozesses vorgestellt, welche eine Approximation der Verteilungsfunktion von sqrt(n)(X(n)-x) mit Resttermen der Ordnung o(1/sqrt(n)) und o(1/n) ermöglichen. Ausgehend von einer Idee von Walk zur linearen Approximation des Robbins-Monro-Prozesses wird die Rekursion in eine Summe von Multilinearformen in den Beobachtungsfehlern V(n) aufgelöst. Die Gültigkeit dieser Darstellungen wird in Kapitel 1 für quasi- und sublineare Regressionsfunktionen nachgewiesen. In Kapitel 2 werden die Entwicklungen der ersten vier Kumulanten der Darstellungsformen ermittelt. Dadurch ist die Form der Edgeworth-Entwicklung bereits festgelegt. Die dort gefundene asymptotische Entwicklung der Verzerrung könnte auch für weitere stochastische Approximationsverfahren von Interesse sein, da sie eine Korrektur des rekursiven Schätzers erlaubt. Zum Nachweis der Gültigkeit der Edgeworth-Entwicklungen der Darstellungsformen werden in Kapitel 3 die Methode der charakteristischen Funktionen und das Smoothing Lemma von Esseen verwendet. Der Beweis baut auf Ideen von Helmers, Callaert, Janssen, Veraverbeke, Bickel, Goetze und van Zwet auf, die Edgeworth-Entwicklungen für L- und U-Statistiken untersucht haben. In Kapitel 4 werden diese Ergebnisse auf den Robbins-Monro-Prozess angewendet. Damit kann die Überdeckungswahrscheinlichkeit von Konfidenzintervallen für x mit einem Restterm der Ordnung O(1/n) angegeben werden. Weitere Folgerungen betreffen Cornish-Fisher-Entwicklungen der Quantilfunktion und eine Edgeworth-Korrektur der Verteilungsfunktion.