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Kiefer-Wolfowitz type stochastic approximation with semimartingales
(2010) Schnizler, Philipp; Dippon, Jürgen (Priv.-Doz. Dr.)
In der vorliegenden Arbeit wird ein verallgemeinerter zeitstetiger Kiefer-Wolfowitz-Prozess, der sich als Lösung einer stochastischen Integralgleichung ergibt, vorgeschlagen. Der Robbins-Monro- und der Kiefer-Wolfowitz-Prozess werden im ersten Kapitel sowohl als zeitdiskrete als auch als zeitstetige stochastische Approximationsverfahren vorgestellt. Das zweite Kapitel geht auf Fragen nach der Konsistenz und der Konvergenzgeschwindigkeit des Prozesses Z_t ein. Diese Fragen konnten ohne erhebliche Einschränkungen hinsichtlich der Gestalt von R_t, a_t und c_t geklärt werden, da nicht angenommen werden musste, dass diese deterministisch sind. Beim Nachweis beider Resultate spielt ein Lemma eine zentrale Rolle, das Aussagen über Konvergenzmengen von positiven speziellen Semimartingalen macht und im Wesentlichen auf deren multiplikativen Zerlegung beruht. Die Resultate der Konsistenz und der Konvergenzgeschwindigkeit werden im Ito-Fall und im zeitdiskreten Fall diskutiert. Hierbei ergeben sich drei bereits bekannte und ein neues Resultat. Der nächste Teil der Arbeit widmet sich der asymptotischen Normalität, in dem jedoch nur deterministische Prozesse R_t und Dämpfungsprozesse der Gestalt a_t:=a/(1+R_t) zugelassen werden. Im Fall von zwei bzw. dreimal differenzierbaren Regressionsfunktionen f wird zunächst die Konvergenzgeschwindigkeit des Prozesses Z_t in einem fast L^2-Sinne betrachtet und anschließend die Frage nach dessen asymptotischer Normalität geklärt. Zum Nachweis der asymptotischen Normalität werden eine geeignete Darstellung des Prozesses Z_t, die fast L^2-Konvergenzgeschwindigkeit unter Verwendung der Markov-Ungleichung und ein zentraler Grenzwertsatz verwendet. Diese Resultate werden wiederum im Ito-Fall und im zeitdiskreten Fall diskutiert. Im zeitdiskreten Fall zeigt sich, dass das Resultat über die asymptotische Normalität mit bereits bekannten Resultaten übereinstimmt. Ein entsprechendes Resultat im Ito-Fall war in der Literatur bisher nicht zu finden. Im vierten Kapitel wird ein gemittelter Prozess unter Verwendung von schwächeren Dämpfungsprozessen präsentiert und sowohl dessen Konsistenz als auch dessen asymptotische Normalität diskutiert. Wie im vorangegangenen Kapitel wird auch hier davon ausgegangen, dass der Prozess R_t deterministisch ist. Anschließend werden wieder der Ito-Fall und der zeitdiskrete Fall diskutiert. Dabei ergibt sich im zeitdiskreten Fall ein bereits bekanntes und im Ito-Fall ein neues Resultat. Abschließend beschäftigt sich die Arbeit mit der Frage, wie sich der Kiefer-Wolfowitz-Prozess bzw. der gemittelte Prozess asymptotisch verhält, wenn der Dämpfungsprozess zu einer Konstanten ausgeartet ist. Diese Frage war bei zeitstetigen Varianten des Robbins-Monro-Prozesses bisher noch nicht geklärt. Das Augenmerk richtet sich auf lineare Regressionsfunktionen; die Einschränkung, dass der Prozess R_t deterministisch ist, wird aufgehoben. Unter Verwendung eines einfachen Beispieles wird gezeigt, dass der Robbins-Monro-Prozess in diesem Fall nicht konsistent ist. Allerdings kann vom gemittelten Prozess gezeigt werden, dass dieser asymptotisch normal ist. Auf diesen Resultaten aufbauend wird die eigentliche Fragestellung nach dem asymptotischen Verhalten des Kiefer-Wolfowitz-Prozesses für den Fall einer quadratischen Regressionsfunktion geklärt. Anschließend werden der Ito-Fall, der zeitdiskrete Fall und ein weiterer Fall diskutiert. Für den zeitdiskreten Fall ergibt sich erneut ein bekanntes und für den Ito-Fall ein neues Resultat.