Browsing by Author "Güßmann, Martin"

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Selbstorganisation zwischen Mannigfaltigkeiten euklidischer und nichteuklidischer Geometrie durch Kooperation und Kompetition
(2006) Güßmann, Martin; Wunner, Günter (Prof. Dr.)
Gegenstand dieser Dissertation ist ein grundlegendes Problem biologischer Musterbildung. Im Laufe der Ontogenese von Wirbeltieren entstehen wohlgeordnete neuronale Verbindungen zwischen der Retina des Auges und dem Tectum, einer für die optische Informationsverarbeitung wesentlichen Struktur des Mittelhirns. Während die von den retinalen Ganglienzellen auf dem Tectum geknüpften synaptischen Kontakte anfangs noch ungeordnet und zufällig verteilt sind, kommt es im weiteren Verlauf der Ontogenese zur Generierung einer retinotopen Ordnung, d.h. benachbarte Zellen der Retina sind mit benachbarten Zellen des Tectum verbunden. Schon vor über zwanzig Jahren lieferten Häussler und von der Malsburg eine detaillierte analytische Behandlung für den Modellfall, dass die beiden Zellschichten als diskrete lineare Ketten mit jeweils derselben Anzahl von Zellen vorliegen. Die Ausbildung einer retinotopen Ordnung wurde dabei als das Resultat des Wechselspiels aus Kooperation und Konkurrenz zwischen den einzelnen synaptischen Kontakten betrachtet. Ziel dieser Dissertation ist die Verallgemeinerung dieses Modells auf Zellschichten beliebiger Geometrie und Dimension, um zu einer der biologischen Realität adäquateren Beschreibung zu gelangen. Dazu werden zunächst die zugrundeliegenden nichtlinearen Häussler-Gleichungen, welche die Dynamik der Verbindungsgewichte zwischen Retina und Tectum bestimmen, auf kontinuierliche Mannigfaltigkeiten beliebiger Geometrie und Dimension erweitert. Daran schließt sich eine ausführliche synergetische Systemanalyse dieser verallgemeinerten Häussler-Gleichungen an. Die sich daraus ergebenden generischen Ordnungsparametergleichungen stellen ein wesentliches neues Resultat dieser Arbeit dar. Sie dienen als Ausgangspunkt für die Analyse der Emergenz selbstorganisierter retinotoper Verbindungen in Zellschichten verschiedener Geometrien. Zunächst werden als einfachstes Beispiel zwei eindimensionale Mannigfaltigkeiten in Form von Saiten mit periodischen Randbedingungen betrachtet. Es wird der Nachweis erbracht, dass die Saite alle wesentlichen Eigenschaften der diskreten linearen Kette aufweist. Als eine erste Anwendung zweidimensionaler Mannigfaltigkeiten werden Ebenen mit periodischen Randbedingungen analysiert. Dabei zeigt sich, dass dieses System nicht in trivialer Weise in zwei Dimensionen entkoppelt. Ausgehend von einer eingehenden Untersuchung der Ordnungsparametergleichungen werden Bedingungen formuliert, bei denen die Superposition zweier Moden einen Zustand mit ausgeprägtem retinotopem Charakter liefert. Schließlich werden als ein Beispiel nichteuklidischer Mannigfaltigkeiten sphärische Geometrien analysiert, was insbesondere auch durch die reale Form von Retina und Tectum motiviert ist. Ein wesentliches Ergebnis der nichtlinearen Analyse im Fall der Kugel besteht in der Erkenntnis, dass stationäre Lösungen der Ordnungsparametergleichungen existieren, die einer perfekten 1-1-Retinotopie entsprechen.