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Divergenzkorrekturen und asymptotische Untersuchungen bei der numerischen Simulation idealer magnetohydrodynamischer Strömungen
(2006) Kemm, Friedemann; Munz, Claus-Dieter (Prof. Dr.)
Es werden Lösungsansätze für zwei wesentliche Problembereiche bei der Simulation kompressibler idealer magnetohydrodynamischer Strömungen entwickelt: - Schwach kompressible Strömungen, - Auftreten magnetischer Monopole in der numerischen Lösung. Für den erstgenannten Problembereich wird ein Ansatz aus der schwach kompressiblen Gasdynamik für die MHD adaptiert. Es werden Methoden der asymptotischen Analyse verwendet, um den Übergang von der Kompressibilität zur Inkompressibilität zu untersuchen. Aufgrund der Ergebnisse der Analyse wurden Vorschläge für numerische Verfahren entwickelt. In dieser Arbeit wird nachgewiesen, daß sich im Fall kleiner Machzahlen die Konstruktion eines Verfahrens aus der schwach kompressiblen Gasdynamik für die MHD direkt übernehmen läßt. Nun wird eine MHD-Strömung aber auch dann schwach kompressibel, wenn die Alfvenzahl klein wird. In dieser Arbeit wird nun gezeigt, daß auch für den Fall kleiner Alfvenzahlen sowohl für den eindimensionalen Fall als auch für zweidimensionale Spezialfälle mithilfe der Mehrskalenanalyse der Übergang zur Inkompressibilität untersucht werden kann. Hieraus wird jeweils die Konstruktion eines numerischen Verfahrens abgeleitet. Dieses kann auch als Vorlage für Verfahren dienen, welche allgemeine dreidimensionale Strömungen kleiner Alfvenzahl approximieren, aber der gewählten Analysis nicht zugänglich sind. Für das Problem magnetischer Monopole werden in der vorliegenden Arbeit Methoden konstruiert, welche die Divergenzbedingung an das Magnetfeld zu einem inhärenten Teil des Evolutionsoperators machen. Hierfür wird der GLM-Ansatz für das elektrische Feld bei den Maxwellgleichungen auf die MHD übertragen und um eine neue, die gemischte GLM-Korrektur, erweitert. Es gelingt, ein allgemeines Modell aufzustellen, das neben der GLM-Korrektur auch die Powell-Korrektur als Spezialfall enthält. Überdies lassen sich verbesserte Versionen der Powell-Korrektur angeben. Der Ansatz wird anhand eines reduzierten Testsystems entwickelt und ist so allgemein, daß er wiederum auf die Maxwellgleichungen angewandt werden kann. Für die zu wählenden Parameter werden auf analytischem Wege Schätzungen hergeleitet, welche die Wirksamkeit der jeweiligen Divergenzkorrekturmethode optimieren. Die theoretischen Vorhersagen werden mittels numerischer Tests sowohl für das Testsystem als auch für die volle MHD verifiziert.