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Numerische Analyse von gemischten Ausfallverteilungen in der Zuverlässigkeitstechnik
(2013) Klein, Benjamin; Bertsche, Bernd (Prof. Dr.-Ing.)
Der Nachweis von Zuverlässigkeitsanforderungen erfordert einen große Zeit- und Kostenaufwand. Dieser Nachweis kann durch Prüfstandsversuche oder durch die Auswertung von Felddaten geführt werden. Beide Möglichkeiten haben Vor- und Nachteile. Versuche bieten den Vorteil der genauen Kenntnis der Parameter auf Kosten meist kleiner Stichprobengrößen und synthetischer Versuchsbedingungen. Felddaten bieten den Vorteil der realen Belastung des Produkts und großer Stichprobenumfänge mit den Nachteilen der Unsicherheit bezüglich der genauen Kenntnis der Lebensdauer und der Belastung. Trotz der genannten Nachteile bietet die Analyse von Felddaten ein großes Potential. Felddatensätze bestehen meist aus einer Mischung verschiedener Produkttypen oder Ausfallmechanismen. Diese Mischungen können durch Mischverteilungen oder Ausfälle verschiedener Komponenten von Systemen auftreten. Zur Analyse dieser gemischten Verteilungen wurde in dieser Arbeit ein neues Verfahren vorgestellt. Für die Problemstellung der Analyse von Mischverteilungen und booleschen Systemen wurden die Einschränkungen der grafischen und analytischen Verfahren aufgezeigt. Im Weiteren wurden bekannte numerische Optimierungsmethoden und deren Arbeitsweise und Anwendung beschrieben. Diese numerischen Optimierungsmethoden sind auch dann einsetzbar, wenn die Verwendung analytischer Methoden nicht möglich ist. Aus den vorgestellten Optimierungsmethoden wurden die genetischen Algorithmen und die künstlichen neuronalen Netze ausgewählt. Diese wurden genauer auf ihre Anwendbarkeit auf die Problemstellung untersucht. Dazu wurden der Ablauf und die Anwendung der genetischen Algorithmen und der künstlichen neuronalen Netze als Optimierungsmethode beschrieben. Die beiden Methoden wurden anschließend bezüglich der vorliegenden Problemstellung, der Parameterschätzung von gemischten Verteilungen, gegenübergestellt. Aus der Diskussion der beiden Methoden konnten die genetischen Algorithmen aufgrund ihrer universelleren Anwendbarkeit als die geeignetere Variante ausgewählt werden. Im nächsten Schritt wurde ein genetischer Algorithmus zur Schätzung von gemischten Verteilungen implementiert. Die Analyse der verschiedenen Algorithmenparameter und deren Optimierung konnte anhand von beispielhaften repräsentativen Mischverteilungen durchgeführt werden. Hierbei lag das Hauptaugenmerk auf den zentralen Punkten der Kodierung der Individuen, der geeigneten Ziel- oder Fitnessfunktion und den optimalen Parametern des genetischen Algorithmus. Zur Untersuchung der Funktionsweise des Algorithmus und der zu erwartenden Ergebnisse wurden verschiedene repräsentative Datensätze erstellt. Anhand der vorgestellten Datensätze wurde untersucht, welche Ergebnisse bei einer begrenzten Populationsgröße und Generationenanzahl erwartet werden können. Dazu mussten die Datensätze möglichst viele Arten von Mischverteilungen und booleschen Systemen repräsentieren, um allgemeine Aussagen treffen zu können. Aufbauend auf den repräsentativen Datensätzen wurden Parameterschätzungen durchgeführt und deren Ergebnisse diskutiert. Bei Mischverteilungen ohne ausfallfreie Zeit wurden Ergebnisse erzielt, die im Bereich der Ergebnisse kommerzieller Software liegen. Mit zunehmender Anzahl an Unterverteilungen konnte die Ergebnisgüte der kommerziellen Software nicht mehr in allen Fällen erreicht werden. Bei der Schätzung von Mischverteilungen mit ausfallfreier Zeit und booleschen Systemen konnten gute bis sehr gute Ergebnisse erzielt werden. In einem weiteren Schritt wurde die Möglichkeit zur Schätzung der Unterverteilungsanzahl untersucht, wurden die Schwierigkeiten erläutert und verschiedene Verbesserungsmaßnahmen vorgeschlagen. Mit dem genetischen Algorithmus konnte eine Methode implementiert werden, mit der es möglich ist, die Verteilungsparameter aller Typen von gemischten Verteilungen zu schätzen. Die Güte der Ergebnisse reicht an die der analytischen Vergleichsmethode MLE/EM heran. Bei booleschen Systemen war bisher eine Parameterschätzung der Unterverteilungen überhaupt nicht möglich. Die universelle Anwendbarkeit der Methode auf alle Arten von gemischten Verteilungen gleicht den Nachteil der etwas geringeren Ergebnisgüte gegenüber den analytischen Methoden aus. In dieser Arbeit konnte die prinzipielle Eignung numerischer Methoden zur Parameterschätzung von gemischten Verteilungen gezeigt werden. Darauf aufbauend könnten weitere numerische Methoden auf ihre Anwendbarkeit auf diese Problemstellung hin untersucht werden. Der genetische Algorithmus zeigt für die vorgestellten Verteilungen gute bis sehr gute Ergebnisse. Ein Nachweis der Anwendbarkeit auf weitere Verteilungsarten wie beispielsweise die Lognormalverteilung steht noch aus. Zudem sind noch weitere Möglichkeiten zur Erweiterung des genetischen Algorithmus bekannt bis hin zu memetischen Algorithmen, die bisher nicht untersucht wurden.