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    Phason-elastische Energie in dekagonalen Quasikristallen
    (2005) Koschella, Ulrich; Trebin, Hans-Rainer (Prof. Dr.)
    Als Shechtman et al. 1984 an einer abgeschreckten AlMn-Legierung Beugungsbilder mit scharfen Bragg-Reflexen und kristallographisch verbotener Symmetrie fanden, war eine neue Klasse von Festkörpern entdeckt. Einerseits muss die Legierung wegen der Bragg-Peaks eine weit reichende Translationsordnung besitzen, andererseits kann diese wegen der Punktsymmetrie nicht periodisch sein. Levine und Steinhardt erklärten dies mit aperiodischen Gittern wie dem zweidimensionalen Penrosemuster oder seinem dreidimensionalen Analogon. Die Beugungsbilder dieser Gitter bestehen aus Delta-Funktionen, und sie können nichtkristallographische Punktsymmetrien aufweisen. Entsprechend der Einheitszelle bei periodischen Gittern gibt es für diese quasiperiodischen Gitter eine endliche Anzahl von Kacheln, die den Raum lückenlos und überlappungsfrei überdecken, wenn man sie an die Gitterpunkte anlegt. Elser und Henley stellten fest, dass auch Zufallsparkettierungen aus denselben Kacheln im Ensemblemittel nichtkristallographische Symmetrie und Beugungsbilder mit Bragg-Reflexen aufweisen. Wegen der perfekten Ordnung sind die quasiperiodischen Gitter ein Modell für energiestabilisierte Quasikristalle, während die Zufallsparkettierungen aufgrund der Konfigurationsentropie ein Modell für entropiestabilisierte Quasikristalle sind. Abweichungen von der quasiperiodischen Ordnung lassen sich mit einer verallgemeinerten, sogenannten phasonischen Verschiebung beziehungsweise deren Gradient, der phasonischen Verzerrung, beschreiben. Parkettierungsmodelle ergeben ein quadratisches Verhalten der freien Energie in dieser phasonischen Verzerrung für die entropiestabilisierten Quasikristalle, während die Locked-State-Theorie für die energiestabilisierten ein nichtanalytisches lineares Verhalten voraussagt. Strukturmodelle für reale Quasikristalle werden durch eine atomare Dekoration der Kacheln beschrieben. Damit sind sie sowohl mit den quasiperiodischen Gittern als auch mit den Zufallsparkettierungen kompatibel. Für die entropiestabilisierten Quasikristalle kann der Übergang vom Parkettierungsmodell zu einer atomaren Struktur gemacht werden, indem man fordert, dass die lokalen atomaren Umgebungen auf der Größenordnung der Kacheln energetisch stark favorisiert sind, die Anordnung dieser Umgebungen zueinander dagegen zufällig erfolgt. Das Verhalten der freien Energie kann somit vom Parkettierungsmodell auf das atomare übertragen werden. Für die energetische Stabilisierung werden bestimmte Kachelkonfigurationen, die gegen Anlegeregeln verstoßen, mit Strafenergien belegt. Es ist a priori nicht klar, wie man diese Energiebewertung auf atomare Wechselwirkungen übertragen kann. Das nichtanalytische Verhalten der freien Energie wurde deshalb noch nicht in einem atomaren Modell beschrieben. Diese Arbeit beschäftigt sich mit der energetischen Stabilisierung eines atomaren zweidimensionalen Modellquasikristalls mit dekagonaler Symmetrie. In molekulardynamischen Relaxationssimulationen wird durch Aufbringen verschiedener phononischer und phasonischer Verzerrungen die Abhängigkeit der Energie von den Verzerrungen bestimmt. Es wird eine Entwicklung der freien Energie nach der phasonischen Verzerrung vorgestellt, die durch die atomaren Wechselwirkungen parametrisiert ist. Diese Entwicklung liefert zum einen die allgemeine Abhängigkeit der freien elastischen Energie von der phasonischen Verzerrung, zum anderen kann man vorhersagen, wie atomare Wechselwirkungen aussehen müssen, damit sie einen Quasikristall energetisch stabilisieren. Um den Quasikristall und seine Approximanten mit dem Grundzustand vergleichen zu können, wurden Monte-Carlo-Kühlsimulationen durchgeführt. Die Relaxationssimulationen und die Entwicklung für kleinere Abschneideradien ergeben eine quadratische Abhängigkeit der freien elastischen Energiedichte von der phasonischen Verzerrung bei Temperatur null. Über dieses quadratische Verhalten können bei entsprechender Wahl der Potentiale lokale Umgebungen favorisiert werden. Die Radien dieser Umgebungen liegen in der Größenordnung des Abschneideradius der Potentiale. Das Resultat ist ein Supertile-Random-Tiling, eine weit reichende quasiperiodische Ordnung kann nicht erzeugt werden. Erst bei sehr großen Abschneideradien der Potentiale, deutlich größer als man sie üblicherweise annimmt, zeigt die freie elastische Energiedichte nichtanalytisches Verhalten in der phasonischen Verzerrung, wie es benötigt wird, um mit einer endlichen Reichweite der Wechselwirkung eine perfekte quasiperiodische Ordnung zu erzeugen. Die Potentiale müssen starke Gradienten aufweisen, die bei diesen großen Abständen sehr genau positioniert sein müssen. Aus den Ergebnissen kann man schließen, dass der Locked-State wohl ein akademisches Modell ist, reale Tieftemperatur-Quasikristalle muss man sich als eingefrorene Supertile-Random-Tilings mit globaler phasonischer Verzerrung null und kleinen Fluktuationen vorstellen.
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    Zur Phason-Phonon-Kopplung in dekagonalen Quasikristallen
    (2001) Koschella, Ulrich
    Quasikristalle haben neben den von Kristallen bekannten phononischen Freiheitsgraden weitere sogenannte phasonische Freiheitsgrade. Diese basieren auf alternativen Positionen bestimmter Atome im Quasikristall. Ein Sprung eines Atoms auf eine solche alternative Position wird Flip genannt. Beschreibt man den Quasikristall eingebettet in einem höherdimensionalen Hyperraum, so können die phasonischen Freiheitsgrade wie die phononischen als Verzerrungen beschrieben werden. Eine solche phasonische Verzerrung bewirkt im ganzen Quasikristall Flips. Die räumliche Verteilung dieser Flips in Abhängigkeit von der phasonischen Verzerrung wurde konstruiert. Die phasonischen Verzerrungen liefern in einer erweiterten Elastizitätstheorie auch einen Beitrag zur elastischen Energie. Dadurch hat ein Quasikristall neben den phononischen elastischen Konstanten auch sogenannte phasonische und insbesondere auch eine Phason-Phonon-Kopplungskonstante, die eine Wechselwirkung zwischen einer phononischenSchermode und einer phasonischen Verzerrung beschreibt. Es wurde eine Simulationsreihe entwickelt, mit der sowohl alle phononischen wie die phasonischen elastischen Konstanten und die Kopplungskonstante für einen dekagonalen Quasikristall in Molekulardynamiksimulationen bestimmt werden können.