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Ein Beitrag zur Bestimmung der von dreidimensionalen Körperschallquellen abgestrahlten Luftschallleistung mit der direkten Finiten-Elemente-Methode
(2007) Kraus, Max; Hübner, Gerhard (Prof. Dr.)
Die Hauptbeurteilungsgröße der Schallemission von Maschinen und technischen Anlagen ist die Schallleistung. Eines der effektivsten und praktikabelsten Verfahren zur Bestimmung der von schwingenden Oberflächen abgestrahlten Luftschallleistung ist die Direkte Finite Elemente Methode (DFEM). Diese Berechnungsmethode ermöglicht aufgrund ihrer Einfachheit sehr kurze Berechnungszeiten bei gleichzeitig sehr geringem Speicherplatzbedarf. Sowohl die Schallstrahler als auch die starre Umgebung werden durch ein Netz von Monopolen ersetzt. Die insgesamt abgestrahlte Schallleistung ergibt sich durch die Summe der Monopol-Einzellleistungen und die Summe der Wechselwirkungsleistungen aller Monopolpaarungen. Da diese Monopole bei der Anwesenheit von Streukörpern nicht mehr in den Vollraum abstrahlen, muss zunächst die Rückwirkung der starren Umgebung auf die Schallleistungsabstrahlung der Monopole durch Modifikationsfaktoren berücksichtigt werden. Die Berechnung dieser Schallleistungsmodifikationsfaktoren dauerte bisher insbesondere bei höheren Frequenzen deutlich länger als die eigentliche Schallleistungsberechnung, da eine frequenz- bzw. abstandsabhängige Subdiskretisierung von Elementen der Umgebung durchgeführt werden musste. Um die Gesamtrechenzeit der DFEM zu senken, wurde eine neue Methode zur Bestimmung der Schallleistungsmodifikationsfaktoren entwickelt, die auf eine Subdiskretisierung verzichtet. Dabei wird jedes Oberflächenelement durch ein Kreisringteil mit gleichem Flächeninhalt ersetzt, so dass anstelle der zeitaufwändigen Summation der Subelemente eine analytische Integration erfolgen kann. Da die Form des Kreisringteils ein Integrationsgebiet darstellt, das an die radialsymmetrischen Abstrahleigenschaften eines Monopols angepasst ist, kann für das Integral eine Stammfunktion angegeben werden, so dass die Berechnung der Modifikationsfaktoren mit einer einfachen Formel durchgeführt werden kann. Die Anwendung dieser Methode, die als Kreissegment-Integration (KSI) bezeichnet wird, ergab verglichen mit der alten Methode eine 10 bis 100mal kürzere Gesamtrechenzeit – je nach Frequenzbereich und Elementanzahl – bei mindestens gleicher Genauigkeit. Verglichen mit der Standard-BEM ist die Standard-DFEM mit KSI jetzt etwa 100mal schneller und benötigt kaum Speicherplatz. Die KSI bot auch die Möglichkeit, sehr große ebene Oberflächenbereiche von starren Körpern mit sehr wenigen Segmenten zu diskretisieren, wodurch zusätzlich Rechenzeit gespart werden konnte. In künftigen Arbeiten ist noch zu untersuchen, inwiefern die Anwendung eines Multigrid-Verfahrens den quadratischen Rechenaufwand der eigentlichen Schallleistungsberechnung weiter senken kann. Durch ihre Einfachheit besitzt die DFEM allerdings nicht die guten Konvergenzeigenschaften der BEM. Die größten systematischen Abweichungen werden von den Wechselwirkungsabständen zwischen den Monopolpaaren verursacht. Es wurde daher auch untersucht, wie die Wechselwirkungsabstände eines Doppelmonopols auf einer starren Kugel zu wählen sind. Dazu wurde zunächst eine exakte Schallleistungslösung für den beliebig schwingenden und beliebig auf einer starren Kugel angeordneten Doppelmonopol hergeleitet. Aus den Einzelleistungs- und Wechselwirkungstermen dieses Kugel-Doppelmonopols wurde – analog zur ebenen Platte bzw. zum Vollraum – eine 3D-DFEM aufgebaut, die die starre Kugel in die Herleitung einbezieht und somit alle an der Kugel auftretenden Beugungseffekte berücksichtigt. Die guten Konvergenzeigenschaften zeigten, dass die Genauigkeit dieser Kugel-DFEM nur noch von der Diskretisierungsdichte abhängt. Der Wechselwirkungsterm der Kugel-DFEM wurde nun mit dem Wechselwirkungsterm der Standard-3D-DFEM verglichen. Die Untersuchungen zeigten zunächst, dass der Wechselwirkungsterm der Standard-3D-DFEM betragsmäßig zu groß ist. Um den exakten Term zu erhalten, muss die Amplitude des DFEM-Terms mit zunehmender Frequenz immer stärker gemindert werden. Die größten Minderungen sind notwendig, wenn sich zwei Monopole auf der Kugel fast gegenüberliegen. Desweiteren ist der Wechselwirkungsabstand zwischen den Monopolen bis zu 20% größer zu wählen als der kürzeste oberflächengeführte Abstand, insbesondere dann, wenn sich zwei Monopole auf der Kugel fast gegenüberliegen und wenn sich die Luftschallwellenlänge in der Größenordnung der Kugelabmessungen befindet. Weiterführende Untersuchungen sollten sich auf die statistische Absicherung der DFEM-Rechengenauigkeit konzentrieren. Das Fernziel sind Modellierungsregeln für allgemein gestaltete Maschinenoberflächen, die bei einer bestimmten Frequenz und einer bestimmten Diskretisierungsdichte eine für die Praxis ausreichende Genauigkeit garantieren. Die Angabe der Genauigkeitsgrenzen kann in Form von statistischen Grenzen erfolgen, wie sie bei der internationalen Standardisierung von Messverfahren üblich sind, wo z.B. mit 95% Wahrscheinlichkeit eine bestimmte Genauigkeit garantiert wird.