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BETI-Gebietszerlegungsmethoden mit schnellen Randelementverfahren und Anwendungen
(2006) Of, Günther; Steinbach, Olaf (Prof. Dr.)
In der numerischen Simulation wird die Behandlung gekoppelter Problemstellungen auch im Hinblick auf eine schnelle Produktentwicklung zunehmend wichtiger. Gebietszerlegungsmethoden bieten eine einfache Behandlung und eine effiziente numerische Simulation für Materialien mit unterschiedlichen Materialparametern und zur Kopplung verschiedener Modellgleichungen. Außerdem ermöglichen sie die Kopplung verschiedener numerischer Verfahren und eine einfache Parallelisierung der Simulation zur Verkürzung der Rechenzeiten. Neben der Gebietszerlegungsmethode selbst sind auch die verwendeten Verfahren zur Lösung der lokalen Teilprobleme wichtig für ein schnelles Gesamtverfahren. Bei der Randelementmethode wird die Variationsformulierung der partiellen Differentialgleichung durch partielle Integration in eine Randintegralgleichung transformiert. Vorteile der Randelementmethode gegenüber der häufig eingesetzten Finiten Element Methode liegen in der einfacheren Vernetzung des Randes, in der Behandlung von Außenraumproblemen und der expliziten Berechnungen der kompletten Cauchy-Daten auf dem Rand. Ein Nachteil der Standardrandelementmethode ist der mindestens quadratische Speicher- und Rechenaufwand. Dies läßt sich durch den Einsatz von schnellen Randelementmethoden, wie beispielsweise der Multipolmethode, auf fast lineare Komplexität reduzieren. Die Schwerpunkte dieser Arbeit liegen in der Entwicklung von effizienten Gebietszerlegungsmethoden und der Bereitstellung schneller Methoden zur Lösung der lokalen Teilprobleme. Dazu wird zunächst zusätzlich zu der bereits vorhandenden schnellen Multipolrandelementmethode für die Laplace-Gleichung eine Multipolmethode für die linearen Elastostatik entwickelt. Diese baut durch die Verwendung partieller Integrationsformeln im wesentlichen auf den vorhandenen Routinen aus der Laplace-Gleichung auf. Dabei wird auch für die lineare Elastostatik der Einsatz der Multipolmethode durch eine Konsistenzanalyse theoretisch abgesichert. Desweiteren werden mit dem algebraischen Mehrgitterverfahren und den Randintegraloperatoren entgegengesetzter Ordnung effiziente Vorkonditionierungstechniken sowohl für die Laplace-Gleichung als auch die lineare Elastostatik analysiert und eingesetzt. Für den hypersingulären Operator und den Steklov-Poincare-Operator wird speziell für die lineare Elastostatik eine Stabilisierung für die effiziente Invertierung der Operatoren vorgestellt. Aus Effizienzgründen wird das Einfachschichtpotential der Laplace-Gleichung als Vorkoditionierer verwendet und dessen Einsatz theoretisch abgesichert. Damit stehen schnelle Lösungsverfahren für den Einsatz in den Gebietszerlegungsmethoden zur Verfügung. Als Gebietszerlegungsmethode wird vor allem die BETI-Methode (Boundary Element Tearing and Interconnecting) eingesetzt. Dabei werden zur effizienten Lösung verschiedene Formulierungen in linearen Gleichungssystemen betrachtet. Diese linearen Gleichungssysteme werden mit geeigneten iterativen Verfahren mittels des Bramble-Pasciak-CG-Verfahrens gelöst. Die numerischen Experimente zeigen, daß bei Verwendung der Mehrgittervorkonditionierung für die lokalen Einfachschichtpotentiale die BETI-Methode meist schneller ist als die zum Vergleich verwendete primale Dirichlet-Gebietszerlegungsmethode. Insbesondere bei gemischten Randwertproblemen, wie sie in der Elastostatik meistens auftreten, ist die BETI-Methode schneller. Die Konditionszahl der BETI-Methode ist unabhängig von springenden Materialparametern und hat hier ihre Stärken gegenüber der primalen Gebietszerlegungsmethode. Insbesondere in der linearen Elastostatik kann die Behandlung von Teilgebieten ohne ausreichende Dirichlet-Randbedingung für die BETI-Methoden aufgrund der möglicherweise variierenden Zahl an auftretenden Starrkörperbewegungen kompliziert werden. Die in dieser Arbeit eingeführte Allfloating-Formulierung der BETI-Methode vereinheitlicht die Behandlung der einzelnen Teilgebiete der Gebietszerlegung. Dadurch vereinfacht sich die Realisierung der BETI-Methode insbesondere für die lineare Elastostatik und erscheint auch einfacher realisierbar als die Ideen der FETI-DP-Methoden. Außerdem ermöglicht die Allfloating-Formulierung den Einsatz optimaler Vorkonditionierer für die lokalen Steklov-Poincare-Operatoren. Dies hat ein verbessertes asymptotisches Verhalten der Allfloating-Formulierung zur Folge. In den numerischen Beispielen ist das bessere asymptotische Laufzeitverhalten der Allfloating-Formulierung gegenüber der Standard-BETI-Formulierung und damit auch gegenüber der zum Vergleich verwendeten primalen Dirichlet-Gebietszerlegungsmethode zu beobachten.