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Straffe zweidimensionale Untermannigfaltigkeiten kompakter euklidischer Raumformen
(2003) Otto, Marc-Oliver; Kühnel, Wolfgang (Prof. Dr.)
Kuiper definierte zu Beginn der 60er Jahre straffe Immersionen kompakter Flächen in den dreidimensionalen euklidischen Raum als solche minimaler totaler Absolutkrümmung. Straffheit einer immersierten Fläche ist eine Verallgemeinerung von Konvexität und heißt in gewissem Sinne, dass sie unter Berücksichtigung ihrer topologischen Eigenschaften so 'konvex wie möglich' immersiert ist. Mit der Einführung der Two-Piece-Property durch Banchoff, welche für Flächen äquivalent zur Minimalität der totalen Absolutkrümmung ist, war es möglich neben straffen glatten auch straffe polyedrische Immersionen kompakter Flächen zu studieren. Für alle Flächen - glatt oder polyedrisch - ist bekannt, ob sie sich straff in den dreidimensionalen euklidischen Raum immersieren lassen oder nicht. Im ersten Teil der vorliegenden Arbeit (Kapitel 1, 2 und 3) werden diese Resultate auf den Fall übertragen, in welchem die Flächen - glatt oder polyedrisch - in dreidimensionale kompakte euklidische Raumformen (ERF) immersiert werden, d.h. auf Immersionen - glatt oder polyedrisch - zweidimensionaler kompakter Mannigfaltigkeiten in kompakte Quotienten des dreidimensionalen reellen Vektorraums nach fixpunktfreien diskreten Untergruppen der dreidimensionalen euklidischen Gruppe. Die Klassifikation der ERF reduziert sich damit auf die Suche nach diesen Gruppen. Die Bieberbachschen Sätze besagen, dass es in jeder Dimension nur endlich viele solcher Gruppen gibt und damit auch nur endlich viele ERF. Damit klassifizierten Hantzsche und Wendt die ERF und bewiesen, dass es in Dimension drei nur sechs orientierbare und vier nichtorientierbare ERF gibt. In diesem klassischen Resultat sind Diagramme der Gruppenwirkungen zu finden, welche in Kapitel 1 zu Diagrammen der Fundamentalbereiche der Gruppen erweitert werden, die die verschiedenen ERF repräsentieren. Anschließend werden straffe Immersionen - glatt oder polyedrisch - kompakter Flächen ohne Rand in ERF als solche minimaler totaler Absolutkrümmung, analog zum klassischen Fall, definiert. Dies gilt genau dann, wenn die totale Absolutkrümmung der Fläche mit dem Betrag der Euler-Charakteristik dieser übereinstimmt. Die Frage nach der Existenz- bzw. Nichtexistenz straffer Immersionen - glatt oder polyedrisch - kompakter Flächen in ERF ist Inhalt von Kapitel 3. Diese wird für alle kompakten Flächen bis auf die projektive Ebene mit einem und mit zwei Henkeln beantwortet. Nichtexistenz gilt für die projektive Ebene in jede ERF und für die Kleinsche Flasche in zwei der orientierbaren ERF, während sich alle anderen Flächen in jede ERF straff immersieren lassen. Für die projektive Ebene mit zwei Henkeln wird zumindest eine straffe polyedrische Immersion in jede ERF angegeben. Anschließend (Kapitel 4) wird die Straffheit kompakter Flächen ohne Rand in ERF,in Analogie zum klassischen Fall, differentialtopologisch interpretiert in dem Sinne, dass eine glatte Immersion einer kompakten Fläche nichtpositiver Euler-Charakteristik in eine ERF genau dann straff ist, wenn fast jede lokale Höhenfunktion auf dieser Fläche weder ein Maximum noch ein Minimum besitzt. Teil zwei der Arbeit (Kapitel 5) definiert und studiert straffe glatte Immersionen kompakter Flächen mit Rand in ERF. Analog zur Fall kompakter Flächen ohne Rand werden diese Immersionen straff genannt, wenn sie minimale totale Absolutkrümmung besitzen, was wiederum äquivalent ist zur Gleichheit der totalen Absolutkrümmung und dem Betrag der Euler-Charakteristik. Ausgehend von obigen Resultaten werden auch hier Existenz- und Nichtexistenz straffer Immersionen für fast alle Flächen mit nichtleerem Rand bewiesen. Im letzten Teil der Arbeit (Kapitel 6) wird eine Konstruktion straffer glatter und substantieller Immersionen kompakter Flächen ohne Rand in den flachen n-Torus beliebiger Dimension n gegeben, welcher in jeder Dimension n eine kompakte euklidische Raumform ist. Straffe glatte Immersionen kompakter Flächen existieren in jeder Dimension n, wenn die Flächen 'genügend viele' Henkel besitzen im Gegensatz zur klassischen Theorie.