Browsing by Author "Schreiber, Constantin"

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Open Access
Dünngitter-Diskretisierungen für Probleme mit variablen Koeffizienten
(2015) Schreiber, Constantin
Mit Hilfe von Dünnen Gittern können Funktionen in mehreren Veränderlichen mit einer Anzahl von Freiheitsgraden, die deutlich langsamer wächst als mit "vollen" Gittern, diskretisiert werden. In der Simulation ist es ein häufiges Problem, partielle Differentialgleichungen lösen zu müssen, die mit der Finiten-Elemente-Methode diskretisiert wurden. Hierbei liegt die Herausforderung vor allem in der Berechnung des Residuums, also hauptsächlich der Anwendung der Steifigkeitsmatrix. Existierende Verfahren lassen sich nur auf Probleme anwenden, die eine Tensorproduktdarstellung besitzen, also nicht auf Probleme mit über dem Gebiet variablen Koeffizienten. In dieser Arbeit soll der Ansatz aus der Bachelorarbeit von S. Hirschmann, welcher auf der levelbasierten Darstellung nach B. Peherstorfer und Ch. Zenger basiert, so erweitert werden, dass er auch zur Lösung solcher Fälle verwendet werden kann. Hierzu wird an einem Modellproblem mit stückweise konstanten Ansatzfunktionen ein Algorithmus demonstriert, welcher die Multiplikation mit der Steifigkeitsmatrix auch mit variablen Koeffizienten berechnen kann. Diese Lösung könnte in der Zukunft die Simulation von mehrdimensionalen Problemen erleichtern, da sie eine flexiblere Vorgehensweise erlaubt, welche auch in mehreren Dimensionen dank der Dünnen Gitter nicht zu teuer wird.
Open Access
Orthogonale Dünngitter-Teilraumzerlegungen
(2018) Schreiber, Constantin
In der Simulation treten Häufg hochdimensionale partielle Diﬀerentialgleichungen auf. Das Lösen dieser wird für volle Gitter sehr schnell zu teuer. In dieser Arbeit wird ein Verfahren für das Lösen partieller Diﬀerentialgleichungen mit Hilfe von Dünnen Gittern, welche für mehrdimensionale Probleme besser skalieren, sowie dessen Implementierung in das Programmpaket SG++ vorgestellt. Durch Funktionsdarstellung in einem Erzeugendensystem wird die Verwendung einer L2-orthogonalen Teilraumzerlegung ermöglicht. Projektionsoperatoren ersetzen hierbei die explizite Transformation in eine Prewavelet-Basis. Diese Zerlegung erlaubt das Lumping der Steifgkeitsmatrix, also das Weglassen von großen Blöcken der Matrix. Hiermit wird ein Algorithmus zur Matrixmultiplikation, welcher dem von Schwab und Todor ähnelt implementiert. Dieser wird in einem konjugierten Gradienten-Verfahren verwendet und auch auf krummberandete Gebieten angewendet. Des Weiteren wird die Teilraumzerlegung durch L2-Projektion mit anderen Zerlegungen in Bezug auf Laufzeit und Fehlerentwicklung verglichen.