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Die relativistische Schrödingertheorie als erweiterte Yang-Mills-Theorie
(2007) Schust, Peter; Weiß, Ulrich (Prof. Dr.)
Die vollständige unitäre Liegruppe wird zusammen mit der Anordnung der Freiheitsgrade einer quantenmechanischen Beschreibung eines Vielteilchensystem in einer Whitneysummenstruktur zur Beschreibung der Austauschsymmetrie eines Systems identischer Teilchen verwendet. Dadurch wird die Beschreibung der Austauschsymmetrie durch die Permutationsgruppe, die durch ihre Globalität und Diskretheit in Kontrast zum sonst in der Physik herrschenden Prinzip der Lokalität steht, durch eine Beschreibung ersetzt, die auf eine lokale und kontinuierliche Liegruppe zurückgreift. Als erstes wird der Ursprung und die Auswirkungen der Verwendung der Whitneysumme zur Anordnung der Freiheitsgrade einer Vielteilchentheorie anstatt ihres sonst üblichen Tensorproduktes besprochen. Danach wird eine passende Lagrangedichte für die Arbeit mit einer Whitneysumme in Zusammenhang mit der maximal möglichen unitären Liesymmetrie eines Vielteilchensystemes angegeben, die der Ausgangspunkt für alle weiteren Ergebnisse ist. Da die unitäre Gruppe in N Dimensionen (wobei N die Anzahl der unabhängigen Freiheitsgrade der Theorie unter Bezug auf die Poincaregruppe des Systems ist) zu viele Transformationen zulässt, als daß die Freiheitsgrade sich voneinander abgrenzen könnten, müssen einige dieser Transformationen eingeschränkt (jedoch nicht ausgeschlossen!) werden. Der unbeschränkte Anteil wird zur Modellierung der Wechselwirkungen des Systems herangezogen. Dieser Vorgang der Symmetrieaufteilung wird zunächst allgemein besprochen, um dann auf ein Beispielsystem dreier Diracfreiheitsgrade (-> Elektronen) spezialisiert zu werden. An diesem Beispiel wird gezeigt, wie sich den Freiheitsgraden der Theorie einzelne Ladungen zuordnen lassen, wodurch sie zu Teilchen werden. Mit anderen Worten wird ein Teilchenbild auf der Grundlage der mathematischen Struktur der Whitneysumme vorgestellt. Dieses ist so eng mit der notwendigen Beschränkung einiger Transformationen der U(N) verwandt, daß beide nur verschiedene Seiten derselben Medaille sind: Die Aufrechterhaltung des Teilchenbildes unter allen Transformationen der U(N) erfordert genau die Beschränkung einiger Transformationen, die diese zur Beschreibung einer Austauschsymmetrie werden lässt, während umgekehrt ein Teilchenbild ohne diese Beschränkungen gar nicht erst aufgestellt werden könnte.