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Finite-Volumen Verfahren hoher Ordnung und heterogene Gebietszerlegung für die numerische Aeroakustik
(2005) Schwartzkopff, Thomas; Munz, Claus-Dieter (Prof. Dr.-rer. nat.)
In der Akustik werden im Allgemeinen große Gebiete untersucht, bei denen in einzelnen Bereichen sehr unterschiedliche physikalische Phänomene relevant sind. Die Strömungsvorgänge laufen auf kleinen räumliche Skalen ab, die akustischen dagegen auf großen räumlichen Skalen. Daher werden bei den klassischen Methoden, wie akustische Analogie und Störansatz, das Strömungsfeld und das Akustikfeld getrennt voneinander berechnet und über Quellterme miteinander verbunden. Dabei sind die Quellterme keinesfalls eindeutig bestimmt, und die Rückwirkung der Akustik auf die Strömung wird nicht berücksichtigt. In dieser Arbeit wird ein Ansatz vorgestellt, der dieses Problem umgeht. Dazu werden verschiedene Teilgebiete verwendet, in denen die Gleichungen, die Gitter- und die Zeitschrittweiten, der Gittertyp und die numerischen Verfahren frei gewählt und an die lokal relevanten Phänomene angepasst werden können. Dies wird als heterogene Gebietszerlegung bezeichnet. Damit wird es ermöglicht, eine direkte Simulation von Problemen der numerischen Aeroakustik durchzuführen. Dies bedeutet, dass in allen Gebieten die Strömungsphänomene und die Akustik berechnet werden. Es wird gezeigt, wie die Kopplung an den Gebietsgrenzen vorgenommen werden muss, um eine Methode zu erhalten, welche im Gesamten zeitgenau und hoher Ordnung ist. Die größte Rechenzeitersparnis wird dadurch erreicht, dass es mit der hier vorgestellten Methode nicht nur möglich ist, unterschiedlich grobe Gitter zu verwenden, sondern ebenfalls den Zeitschritt in den einzelnen Gebieten zu variieren. Diese Kopplung hoher Ordnung wird anhand einer Konvergenzuntersuchung nachgewiesen, bei der eine Konvergenz mit 9. Ordnung in Raum und Zeit erzielt wird. Als praktische Beispiele werden daraufhin das rotierende Wirbelpaar und die Akustik, erzeugt von einem in einer wirbelbehafteten Anströmung liegenden Profil (Vorderkantenlärm), berechnet und mit Lösungen aus der Literatur verglichen. In der numerischen Aeroakustik, wie sie hier vorgestellt wird, ist es essentiell, überall Verfahren hoher Ordnung zu verwenden, um so möglichst wenig numerische Viskosität und Dispersion einzuführen. Die noch relativ neuen ADER Verfahren aus der Klasse der Finiten-Volumen Verfahren haben hervorragende Wellentransporteigenschaften und lassen sich darüber hinaus mit beliebiger Genauigkeit implementieren, so dass die uniforme Ordnung in Raum und Zeit der einzige freie Parameter ist. Die Verfahren setzen sich im Wesentlichen aus den folgenden drei Elementen zusammen: 1. Rekonstruktion hoher Ordnung der Zustände an den Zellgrenzen aus den Zellmittelwerten, 2. Lösen von verallgemeinerten Riemannproblemen, auch für die Ableitungen und 3. der Verwendung der Lax-Wendroff Prozedur, um Zeitableitungen durch Raumableitungen zu ersetzen. Es werden alle Bausteine vorgestellt, die notwendig sind, um diese Verfahren mit beliebiger Ordnung für lineare und nichtlineare hyperbolische partielle Differentialgleichungssyteme zu implementieren. Dazu gehört auch die algorithmische Umsetzung der Lax-Wendroff Prozedur für die nichtlinearen Euler Gleichungen. Daran anschließend werden Stabiliät, Konvergenz und Wellentransporteigenschaften der Verfahren für lineare und nichtlineare hyperbolische partielle Differentialgleichungen in zwei Raumdimensionen untersucht. Bemerkenswert ist dabei, dass die Stabilität der Verfahren mit zunehmender Genauigkeit ebenfalls zunimmt. Um Oszillationen an Stößen oder starken Gradienten zu vermeiden, wird die Essentially Non Oscillatory Idee eingeführt und die Probleme dieser Methode ausführlich diskutiert. Weiter wird für die ADER Verfahren für lineare Systeme gezeigt, wie diese erheblich beschleunigt werden können, so dass am Ende die ADER Verfahren 12. Ordnung ebenso schnell sind, wie ein Finite-Differenzen Verfahren 6. Ordnung mit Runge-Kutta Zeitintegration 4. Ordnung. Bei der Herleitung der ADER Verfahren für die nichtlinearen Gleichungen gelangt man zu zwei verschiedenen Verfahren, den ADER flux expansion Verfahren und den ADER state expansion Verfahren. Anhand eines Beispiels werden die beiden Varianten miteinander bezüglich Genauigkeit und Rechenzeit verglichen.