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Partielle Lineationen stabiler Ebenen
(2007) Dörfner, Tanja; Stroppel, Markus (Prof. Dr.)
Eine stabile lp-Ebene ist eine topologische Inzidenzstruktur mit eindeutig bestimmter Verbindungsgeraden zu je zwei Punkten, in der die Punktmenge lokalkompakt und von positiver endlicher topologischer Dimension ist, sowie das Stabilitätsaxiom gilt: Die Menge der Paare schneidender Geraden ist offen in der Menge aller Paare von Geraden. Für stabile lp-Ebenen P, P' ist eine partielle Lineation ein Homöomorphismus zwischen offenen Unterebenen von P und P', welcher Geraden in Geraden abbildet. Inspiriert von der kompakt-offenen Topologie definieren wir auf der Menge aller partiellen Lineationen von P auf P' eine Topologie T derart, dass die Spurtopologie auf der Endomorphismen-Halbgruppe die kompakt-offene Topologie ist. Die Topologie T ist nicht hausdorffsch, aber wir beweisen, dass sie lokalkompakt ist, wenn die Punktmengen der Ebenen P und P' Mannigfaltigkeiten sind. Unter der Voraussetzung, dass der Punktraum eine Mannigfaltigkeit ist, erhalten wir die Lokalkompaktheit der Endomorphismen-Halbgruppe einer stabilen lp-Ebene versehen mit der kompakt-offenen Topologie. Desweiteren untersuchen wir partielle Lineationen stabiler Dreiecke, das sind verallgemeinerte stabile Ebenen, und beweisen eine Verallgemeinerung des lokalen Fundamentalsatzes von Löwen: Jede partielle Lineation eines graphenzusammenhängenden stabilen Unterdreiecks einer projektiven Ebenen über einer der Divisions-Algeberen, welche über den Cayley-Dickson-Prozess konstruiert werden (also den reellen Zahlen, den komplexen Zahlen, den Quaterionen oder den Okterionen), lässt sich zu einem Automorphismus dieser Ebene fortsetzen. Neben anderen Beispielen untersuchen wir die Menge der partiellen Lineationen der Pickert-Moulton-Ebene. Wir zeigen, dass jede bijektive Lineation zwischen zwei Pickert-Moulton-Ebenen stetig ist. Außerdem bestimmen wir die Automorphismen-Gruppe einer Pickert-Moulton-Ebene und deren Struktur: Die Automorphismen-Gruppe der Pickert-Moulton-Ebene über dem Körper F mit dem Knickfaktor k ist das semidirekte Produkt einer Gruppe, deren Elemente auf der Pickert-Moulton-Ebene lokal wie Elemente der Automorphismen-Gruppe der projektiven Ebene über dem Körper F wirken, und einer Gruppe, die isomorph ist zur Gruppe derjenigen ordnungserhaltenden Körperautomorphismen des Körpers F, welche den Knickfaktor k fixieren.
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Realisierungen Hilbertscher Liniensysteme
(2008) Schneider, Thomas; Stroppel, Markus (Prof. Dr.)
Die vorliegende Arbeit soll einen Beitrag zur weiteren Erforschung nichtklassischer Geometrien leisten. Hierzu wird ein auf D. Hilbert (1899) bzw. H. Mohrmann (1922) zurückgehendes und von M. Stroppel (1993) systematisch untersuchtes Konstruktionsprinzip zur Realisierung nicht desarguesscher affiner Ebenen verfolgt und erweitert. Ein sogenanntes Stroppel-Mohrmann-Hilbert-Liniensystem (SMH-System) entsteht, indem eine gegebene affine Ebene, deren Punktraum gleich dem der reellen affinen Ebene ist und deren Geraden jeweils homöomorph zur reellen Zahlengeraden sind, im Innern einer streng konvexen, einfach geschlossenen Kurve so modifiziert wird, dass anstelle des ursprünglichen Innengebiets der Kurve eine flach oder räumlich realisierte Inzidenzstruktur "eingeklebt" wird, welche die von Stroppel formulierten Axiome einer streng konvexen Compact Disk (CD) erfüllt. Hilbertsche Liniensysteme sind spezielle SMH-Systeme, bei denen lokal desarguessche CDs in die reelle affine Ebene eingepasst werden. In der vorliegenden Arbeit werden ausschließlich solche CDs betrachtet, die sich jeweils vermöge einer stetigen injektiven Lineation in die reelle affine Ebene einbetten lassen und die somit lokal desarguessch sind. Im Falle von CDs etwa, die auf Flächenstücken konstanter Gauß-Krümmung im dreidimensionalen Raum realisiert werden, liefern (lokale) geodätische Abbildungen in die reelle euklidische Ebene derartige Lineationen. Unter den affinen Ebenen, die als Realisierungen Hilbertscher Liniensysteme entstehen, gibt es desarguessche und nicht desarguessche Vertreterinnen. Als zentrales Resultat der vorliegenden Arbeit wird bewiesen, dass ein Hilbertsches Liniensystem genau dann desarguessch ist, wenn die Randkurve der zur Konstruktion des Hilbertsystems eingesetzten CD punktweise projektiv äquivalent zum Bild der Randkurve unter der Lineation ist. Dieses Ergebnis fußt wesentlich auf dem Lokalen Fundamentalsatz von R. Löwen (1982). Zur praktischen Prüfung der projektiven Äquivalenz zweier Kurven werden Techniken aus der Projektiven Differentialgeometrie eingesetzt: zwei parametrisierte ebene Kurven mit gleichem Parameterbereich sind nämlich genau dann projektiv äquivalent, wenn die entsprechenden Koeffizientenfunktionen der (speziellen) Grundgleichungen übereinstimmen, denen ihre (gegebenenfalls geeignet renormierten) projektiven Darstellungen genügen. Mit diesen Methoden wird zunächst die Klasse der Ebenen untersucht, die wie das von Hilbert im Jahre 1899 vorgestellte Beispiel auf (flachen) CDs basieren, deren Randkurven Ellipsen sind. Das Geradensystem einer solchen CD besteht aus Kreisbögen, die durch einen außerhalb der Ellipse gelegenen festen Punkt verlaufen. Dieser Punkt fungiert als Zentrum einer Inversionsabbildung, welche die Einbettung der CD in die reelle affine Ebene induziert. Damit tatsächlich eine streng konvexe CD vorliegt, muss der Punkt so gewählt werden, dass das Bild des von der Ellipse im Innern berandeten Gebiets unter der Inversionsabbildung streng konvex bezüglich des Geradensystems der reellen affinen Ebene ist. In der vorliegenden Arbeit werden mögliche Lagen des Inversionszentrums zum Ellipsenmittelpunkt in Abhängigkeit von den Halbachsen bestimmt. Mithilfe der oben erwähnten Resultate sowie der Methoden aus der Projektiven Differentialgeometrie wird gezeigt, dass eine affine Ebenen der Hilbertschen Bauart die Desargues-Eigenschaft genau dann besitzt, wenn als Randkurve der CD eine rotationssymmetrische Ellipse, d.h. ein Kreis gewählt wird. Zur Konstruktion einer räumlichen Realisierung eines Hilbertschen Liniensystems wird eine spezielle Drehfläche konstanter positiver Gauß-Krümmung, nämlich eine Spindelfläche, mit dem System ihrer Geodätischen herangezogen. Durch eine geeignet parallel zur Drehachse liegende Ebene wird ein Abschnitt der Spindelfläche abgegrenzt, welcher durch eine ebene Schnittkurve berandet wird. Es zeigt sich, dass dieser Spindelflächenabschnitt die Anforderungen erfüllt, die an räumlich realisierte CDs zu stellen sind. Das übliche System der Geraden der Ebene wird im Inneren der Schnittkurve durch das Geodätensystem der CD modifiziert, und auf diese Weise entsteht ein räumlich realisiertes Hilbertsches Liniensystem, welches wir als Spindelflächenebene bezeichnen. Durch computeralgebraisch und numerisch unterstützte Anwendung des oben erwähnten Hauptresultats wird nachgewiesen, dass die betrachtete Spindelflächenebene nicht desarguessch ist, dass sich aber eine desarguessche affine Ebene ergibt, wenn die Spindelfläche in der Konstruktion durch eine Sphäre gleicher Gauß-Krümmung ersetzt wird.
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Sketched stable planes
(2003) Wich, Anke; Stroppel, Markus (Prof. Dr.)
Standard objects in classical (topological) geometry are the real affine and hyperbolic planes. Both of them can be seen as (open) subplanes of the real projective plane (endowed with the standard topology) and thus share a common theory. This may serve as a brief illustration of the importance of the notion of embeddability. One particularly nice class of topological planes are the so called stable planes - in fact, the above examples are stable planes; as well as the projective planes over the real and complex numbers, Hamilton quaternions and Cayley octaves, the so called classical planes. Moreover, every open subplane of a stable plane again is a stable plane. Consequently, one way of understanding a given stable plane is trying to embed it into one of more profound acquaintanceship, preferredly one of the classical planes. An elegant way of constructing stable planes uses stable partitions of Lie groups. Planes of that type can be treated more efficiently studying these groups along with certain stabilisers, the so called sketches, rather than the original geometries. This method has so far yielded results in several cases where intrinsic methods had not been gratifying. Maier in his dissertation gives a classification of all 4-dimensional connected Lie groups which allow for a stable partition. Only one of them, the Frobenius group Gamma - the semidirect product of the real numbers and the 3-dimensional Heisenberg group - had not been expected, and it hosts an infinite number of stable partitions. Our objective is whether or not the resulting stable planes are embeddable into an already well known plane. Using sketches, it can be proved that none of these planes is embeddable into the classical complex projective plane. As an interesting counterpoint, those planes - hostile as they are towards being embedded into classical planes - do contain an abundance of both, affine and non-affine 2-dimensional classical subplanes. The full automorphism group of such a plane does not contain a certain selection of classical groups. Some conclusions can be drawn as to how soluble this automorphism group is : either it is soluble or it contains one copy of a subgroup with Lie algebra sl(2,R). The normaliser Gamma in the full automorphism group turns out to be soluble, after all. On a more general basis, the interplay of being a sketched geometry and a stable plane is studied : Is there any particular reason why all the examples of sketched stable planes so far have been point homogeneous geometries? And indeed, any line homegeneous sketched stable plane is necessarily flag homogeneous.