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Semiclassical quantization of integrable and chaotic billiard systems by harmonic inversion
(2001) Weibert, Kirsten; Wunner, Günter (Prof. Dr.)
Die Gutzwiller-Spurformel für klassisch chaotische Systeme und die Berry-Tabor-Formel für integrable Systeme geben eine semiklassische Näherung für die quantenmechanische Zustandsdichte an, die die Form einer Summe über alle periodischen Bahnen des Systems annimmt. Da diese Summe jedoch in der Regel nicht konvergiert, ist eine direkte Bestimmung der Eigenwerte aus den Spurformeln nicht möglich. Umgehen lässt sich dieses Problem mit Hilfe der harmonischen Inversion, einer der Signaltheorie entlehnten Methode, die im Gegensatz zu früheren Verfahren keine speziellen Eigenschaften des Systems voraussetzt. Die harmonische Inversion lässt sich einerseits nutzen, um aus den Spurformeln die quantenmechanischen Eigenwerte zu gewinnen. Das Problem der semiklassischen Quantisierung wird dabei zurückgeführt auf die Analyse von semiklassischen Signalen. Umgekehrt können aus quantenmechanischen Spektren die Beiträge der einzelnen periodischen Bahnen bestimmt werden. In dieser Arbeit werden zwei neuartige Erweiterungen der Methode der harmonischen Inversion eingeführt. Einerseits werden - sowohl bei der semiklassischen Quantisierung als auch bei der Analyse von Quantenspektren - Korrekturen höherer Ordnung des Wirkungsquantums zu den semiklassischen Spurformeln mit einbezogen. Andererseits wird eine Erweiterung auf kreuzkorrelierte Signale eingeführt, was die Effizienz der Methode deutlich erhöht. Die verschiedenen Techniken werden dann auf zwei Beispielsysteme mit sehr unterschiedlichen Eigenschaften angewendet: auf das Kreisbillard als Beispiel für ein geschlossenes integrables System und auf das offene und geschlossene Drei-Scheiben-Billard als Beispiel für ein chaotisches System. Die extreme Leistungsfähigkeit und die Universalität des neuartigen Verfahrens werden dabei eindrucksvoll unter Beweis gestellt.