Geometrische Auslegung der Mikrogeometrie konischer Außenstirnräder mit kreuzenden Achsen

Abstract

Die vorliegende Arbeit beschreibt einen Ansatz, mit dem die erforderliche Flankenmodifikation von Beveloidradsätzen für konjugiertes Abwälzen auf Basis der Hauptverzahnungsdaten analytisch bestimmt wird und darauf aufbauend das Tragbild hinsichtlich Position und Größe bei gleichförmiger Drehübertragung gezielt eingestellt werden kann. Die Beveloidverzahnung ist eine evolventische Stirnradverzahnung mit entlang der Zahnbreite linear veränderlicher Profilverschiebung. Aufgrund der dadurch entstehenden konischen Zahnform ermöglichen Beveloidradsätze die Realisierung von Getrieben mit kleinen Achswinkeln bis etwa 15 Grad. Neben der Anwendung in Schiffsgetrieben, in Verteilergetrieben für PKWs und in spielarmen Robotergetrieben ist eine Anwendung überall dort sinnvoll, wo platzsparend mehrere An- und Abtriebe miteinander verbunden werden müssen (z. B. Hybrid- oder Allradantriebsstrang). Aufgrund der konischen Zahnform herrscht bei der Paarung zweier nicht flankenkorrigierter Beveloidräder oder eines Beveloidrads mit einem Zylinderrad in kreuzender Achslage stets Punktkontakt. Das in Folge dessen während des Zahnkontakts entstehende sehr kleine, meist außermittig liegende Tragbild zieht eine stark ungleiche Beanspruchung der Zahnräder nach sich. Zur Auslegung konischer Stirnradverzahnungen hinsichtlich Tragfähigkeit sind in der Literatur zahlreiche Ansätze dokumentiert, denen gemein ist, dass ein annähernd auf Linienkontakt korrigiertes Tragbild vorausgesetzt wird. Bislang besteht jedoch keine durchgängige analytische Methode zur definierten Bestimmung der für ein konjugiertes Abwälzen erforderlichen Flankenmodifikation. Vielmehr erfolgt die Auslegung der Mikrogeometrie oft auf Basis von Erfahrung iterativ oder mithilfe aufwendiger numerischer Verfahren. Ziel dieser Arbeit ist daher - neben dem Aufbau eines umfassenden Verständnisses für die Eingriffscharakteristik von Beveloidradsätzen - die Entwicklung einer Vorgehensweise, mit der Tragbildgröße und -lage für Beveloidradsätze in kreuzender Achslage basierend auf einem verzahnungsgeometrischen analytischen Ansatz unter Berücksichtigung der Herstellbarkeit definiert eingestellt werden können. Die dargestellten Ergebnisse entstammen größtenteils Simulationen oder Berechnungen, die mithilfe des im Rahmen dieser Arbeit entwickelten Computerprogramms SimKoS 2.0 durchgeführt wurden. Hierzu werden die theoretischen Grundlagen bzw. die Funktionsweise der Module zur Vordimensionierung, zur Erzeugung und Korrektur der theoretischen Verzahnungsgeometrie, zur Durchführung von Kontaktaktsimulationen lastfrei und unter Last, zur punktweise numerischen Berechnung des konjugierten Gegenzahnrads und zum Vergleich von in Form von 3D-Punktewolken vorliegenden Zahngeometrien erläutert. Durch eine ausführliche Analyse des Abwälzverhaltens unkorrigierter Beveloidradsätze wird die Kontaktcharakteristik systematisch untersucht. Die in der Simulation ermittelte Orientierung der Berührlinie sowie der Verlauf des Berührpunkts (PoC) werden durch theoretische Überlegungen bestätigt. Eine Untersuchung des Zahnkontakts von Zylinderrädern und Beveloidradsätzen mit numerisch ermittelter konjugierter Zahngeometrie zeigt, dass beide Verzahnungen auf Korrekturen bzw. Abweichungen der Zahnflanke oder der Achslage innerhalb der nach DIN definierten Verzahnungsqualität hinsichtlich Tragbildgröße und Drehfehler gleich unempfindlich sind. Dies unterstreicht die Notwendigkeit, die konjugierte Zahnform bei der Auslegung im ersten Schritt einzustellen, bevor im zweiten Schritt eine Optimierung des Radsatzes auf einen Betriebspunkt mit dem vorhandenen Know-How für Zylinderradpaarungen stattfinden kann. Eine mittels Vergleich von unkorrigierter und konjugierter Zahngeometrie durchgeführte Studie der entstehenden Klaffung zeigt, dass die erforderliche Flankenmodifikation bei bereits mittig ausgerichtetem Zahnkontakt in guter Näherung als eine Superposition aus Flankenlinien-Balligkeit Cβ und Verschränkung der Flankenlinien Sβ sowie der zugehörigen Korrekturen höherer Ordnung abgebildet werden kann. Als wesentliche Einflussparameter auf Größe und Form der entstehenden Klaffung werden Achswinkel, Schrägungswinkel, Übersetzung und Gesamt-Profilverschiebungssumme in der Zahnmitte identifiziert. Die Zahnbreite hat lediglich skalierende Wirkung. Zur mathematischen Beschreibung der benötigten Breitenkorrekturen wird erarbeitet, wie die Verzahnung in Form einzelner Stirnschnitte modelliert werden kann, die entlang einer Stirnschnittbezugskurve positioniert werden. Die bei einer Korrektur der ursprünglich linear verlaufenden Stirnschnittbezugskurve, z. B. durch ein Polynom zweiten Grades, entstehenden Einflüsse auf die Zahnform werden sowohl in tangentialer als auch in radialer Richtung theoretisch hergeleitet und analysiert. Durch stirnschnittweise Betrachtung ist es möglich, die an der Bezugszahnstange auf Höhe der Profilbezugslinie entstehende Flankenmodifikation sowie die im Stirnschnitt auftretende Stirnprofil-Winkelabweichung direkt zu berechnen. Durch Auswertung der Stirnschnitte an Zehe und Ferse ist so eine Abschätzung der zu einer bestimmten Balligkeit zwangsläufig entstehenden Schränkung auf analytischem Wege möglich. Von weitaus größerem praktischem Nutzen ist jedoch die ebenfalls hergeleitete umgekehrte Vorgehensweise, für einen beliebigen Verlauf einer Soll-Flankenmodifikation auf Höhe der Profilbezugslinie an Links- und Rechtsflanke die zugehörige Form der Stirnschnittbezugskurve zu bestimmen. Der aufgezeigte Ansatz wurde für die Anwendung für Beveloidverzahnungen entwickelt, bietet aber auch für Zylinderradsätze Potenzial für die gezielte Auslegung einer Breitenkorrektur. Zur Ermittlung der für konjugierten Zahnkontakt erforderlichen Flankenmodifikation auf Höhe der Profilbezugslinie wird die Korhammersche Beziehung stirnschnittweise ausgewertet. Hierdurch kann unter Berücksichtigung der Hauptverzahnungsdaten und der Einbauposition eine Profilverschiebungskorrektur bestimmt werden, bei der die zugehörigen Stirnschnitte der beiden Zahnräder an der Momentanachse der Wälzbewegung spielfrei miteinander abwälzen. Zusätzlich zu dieser radial wirkenden Profilverschiebung ist bei einer ungleichen Verteilung des Achswinkels auf die Konuswinkel (t‘ ≠ 0,5) oder Übersetzungen i ≠ 1 für konjugierten Zahneingriff eine zusätzliche Tangentialverschiebung der Stirnschnitte notwendig, deren Betrag durch eine Betrachtung des Zahneingriffs an der Momentanachse im Eingriffsfeld direkt berechnet werden kann. Zur Bewertung der Herstellbarkeit wird ein Modul zur Simulation des kontinuierlichen Wälzschleifens und des Teilwälzschleifens in SimKoS 2.0 implementiert und anhand real gefertigter Testradsätze verifiziert. Aufgrund der Modellierung der erforderlichen Flankenmodifikationen mithilfe einer Korrektur der Stirnschnittbezugskurve ist es möglich, die zur Herstellung der Flankenmodifikation theoretisch benötigte Werkzeugbahn für das jeweilige Verfahren und verwendete Werkzeug direkt analytisch zu bestimmen. Durch eine Parameterstudie wird nachgewiesen, dass die konjugierte Verzahnung mit den berechneten Werkzeugbahnen in guter Näherung prinzipiell mit beiden Fertigungsverfahren mit den nach DIN definierten Standardwerkzeugen herstellbar ist. Die exemplarische Anwendung der aufgezeigten Vorgehensweise anhand mehrerer Beispielverzahnungen bestätigt, dass damit eine analytische Methode zur Auslegung der Mikrogeometrie konischer Stirnräder verfügbar ist, die es allein auf Basis der Hauptverzahnungsdaten ermöglicht, unter Gewährleistung der Herstellbarkeit Größe und Position des Tragbilds definiert einzustellen.

This thesis describes an approach for the analytical calculation of the flank modification for conjugate engagement of conical involute gears based on its main parameters. The contact pattern is adjustable in terms of size and location without transmission error. Conical involute gears are spur gears with linearly variable addendum modification along the tooth width. Due to the resulting conical tooth shape, gearboxes with small shaft angles of up to 15 degrees can be realized. In addition to the application in marine drives, in transfer cases for passenger cars and in low-backlash robot gearboxes, it makes sense to use beveloid gear sets wherever multiple input and output drives must be connected to each other with less installation space (e.g. in dedicated hybrid or allweel drive trains). Due to the conical tooth geometry, there is point contact and gap between the two mating conical involute gears with intersecting axis position. The resulting small, often eccentrically located contact pattern causes a very uneven stress distribution. Numerous approaches have been documented in the literature for the design of conical involute gears in terms of load capacity that have in common that approximate line contact is assumed. So far, however, there is no consistent analytical method for the defined determination of the tooth flank modification that is necessary for conjugate rolling. Rather, the design of microgeometry is often performed iteratively based on experience or by using complex numerical methods. The aim of this thesis is therefore to build a comprehensive understanding of the engagement characteristics of beveloid gear sets and to develop a procedure with which the contact pattern size and position can be set based on an analytical approach taking into account the manufacturability. A basic understanding of the contact characteristics is built up in an analysis of the rolling behavior of uncorrected conical involute gears and confirmed by theoretical considerations. The comparative study of cylindrical and conjugate conical involute gear sets shows that both react equally insensitive to corrections or deviations of the tooth flank or the axis position within the DIN-defined tooth qualities with regard to contact pattern size and transmission error. This confirms the need to adjust the conjugate tooth geometry as an intermediate stage before the optimization of the gear set can take place for a defined operating point with already existing know-how. By an examination of the resulting gap between the uncorrected and numerically calculated conjugated tooth geometry it can be shown that the required flank modification can be well approximated as a superposition of crowning Cβ and twist Sb and their associated higher order corrections when the tooth contact has previously been aligned in the middle of the tooth width. Main influencing factors on the size and shape of the resulting gap are the axial angle, the helix angle, the transmission ratio and the sum of addendum modification in the tooth center. The face width has only a scaling effect. For the defined setting of the contact pattern, in the first step an approach is developed, which makes it possible to model a predetermined modification along the tooth width by adjusting shape and position of each individual transverse section. For this purpose, a transverse section reference curve is defined and the theoretical effects on the tooth geometry of its radial and tangential correction are derived. In order to determine the desired modification for the conical tooth flank, in a second step it is shown how an optimum addendum modification required for backlash-free tooth engagement can be calculated by applying the equation of Korhammer to each associated transverse sections of both gears along the tooth width. Thereby, a direct relation is available, which makes it possible to determine the resulting gap directly on the basis of the toothing parameters and the mounting position. For the evaluation of the manufacturability a module for the simulation of continuous generating grinding and partial gear grinding was implemented in SimKoS 2.0 and verified on the basis of manufactured test wheel sets. Due to the modeling of the required flank modifications by means of a correction of the transverse section reference curve, it is possible to determine the theoretically required tool path for the production of the desired tooth shape for the respective method and tool used. A parameter study demonstrates that the conjugated tooth geometry can be produced in good approximation with the calculated tool path using standard tools according to DIN. The application of the introduced approach on the basis of several exemplary gear sets confirms that size and position of the contact pattern can be targeted simply based on the main gear data while ensuring manufacturability. Moreover, the required modification can be distributed arbitrarily to the two gears, while maintaining conjugate rolling. In conclusion, an analytical method for designing the micro geometry of conical involute gears with crossing axis is now available.