Please use this identifier to cite or link to this item: http://dx.doi.org/10.18419/opus-10642
Authors: Winandy, Tom
Title: Dynamics of finite-dimensional mechanical systems
Issue Date: 2019
metadata.ubs.publikation.typ: Dissertation
metadata.ubs.publikation.seiten: xii, 185
URI: http://elib.uni-stuttgart.de/handle/11682/10659
http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:bsz:93-opus-ds-106599
http://dx.doi.org/10.18419/opus-10642
Abstract: This monograph deals with the description of mechanical systems having finitely many degrees of freedom using the language of global differential geometry. The mechanical systems may be explicitly time-dependent and involve nonpotential forces. The focus is on the mathematically rigorous formulation of the physical theory dealing with the aforementioned mechanical systems with the objective to introduce the involved physical quantities as well-defined mathematical objects. The geometric presentation of the physical theory is erected upon a generalized space-time known as Galilean manifold. The state space of a mechanical system is defined as an affine subbundle of the tangent bundle of its associated Galilean manifold. The system's motion is considered to be an integral curve of a second-order vector field on the state space. With the coordinate-free characterization of the motion in terms of second-order vector fields, differential forms appear on stage. A one-to-one correspondence between second-order vector fields and action forms is established. Action forms are differential two-forms with additional properties. The definition of action forms and the derivation of this bijective relation relies on the geometry of double tangent bundles, in which vector bundle homomorphisms and their differential concomitants play an important role. A coordinate-free definition of forces is given and different geometric interpretations are discussed. With the definition of kinetic energy and of potential forces, the equations of motion are postulated in a coordinate-free way using the action form of the mechanical system. Lagrange's, Hamel's, and Hamilton's equations become local representations of this postulate in terms of a respective chart of the state space. Moreover, the connection between action forms and the concept of virtual work is established. This allows to obtain Lagrange's and Hamel's central equation. This variational perspective is pursued by showing that motions characterized by an exact action form satisfy Hamilton's principle. For this purpose, a coordinate-free definition of the action integral is given. Finally, constraints are defined as distributions compatible with the time structure of the Galilean manifold on which they are defined. Consequently, the distinction between holonomic and nonholonomic constraints is made using the Frobenius theorem.
Diese Monographie befasst sich mit der Beschreibung von mechanischen Systemen mit endlich vielen Freiheitsgraden mittels globaler Differentialgeometrie. Die mechanischen Systeme dürfen explizit zeitabhängig sein und können Nichtpotentialkräfte beinhalten. Das Hauptaugenmerk liegt auf der mathematischen Durcharbeitung der zugrunde liegenden physikalischen Theorie. Die benötigten physikalischen Größen werden als wohldefinierte mathematische Objekte eingeführt. Die geometrische Formulierung der physikalischen Theorie baut auf einer verallgemeinerten Raumzeit auf, die als Galilei-Mannigfaltigkeit bekannt ist. Der Zustandsraum eines mechanischen Systems wird als affines Unterbündel des Tangentialbündels der zugehörigen Galilei-Mannigfaltigkeit eingeführt. Die Bewegung eines mechanischen Systems wird als Integralkurve eines Zweitordnungsvektorfeldes auf dem Zustandsraum aufgefasst. Die koordinatenfreie Charakterisierung von Bewegungen durch Zweitordnungsvektorfelder ermöglicht eine Beschreibung mit Hilfe von Differentialformen. Eine eineindeutige Beziehung zwischen Zweitordnungsvektorfeldern und sogenannten Wirkungsformen wird bewiesen. Wirkungsformen sind Zweiformen mit zusätzlichen Eigenschaften. Die Definition von Wirkungsformen und das Aufstellen dieser bijektiven Beziehung basiert auf der Geometrie von Doppeltangentialbündeln, in der Vektorbündelhomomorphismen und deren differentielle Begleiterscheinungen eine zentrale Rolle spielen. Kräfte werden koordinatenfrei definiert und verschiedene geometrische Interpretationen werden diskutiert. Nach der Einführung der kinetischen Energie und von Potentialkräften werden die Bewegungsgleichungen mit Hilfe der Wirkungsform des mechanischen Systems auf eine koordinatenfreie Weise postuliert. Die Lagrange'schen, die Hamel'schen und die Hamilton'schen Gleichungen sind als lokale Darstellungen dieses Postulates bezüglich einer entsprechenden Karte des Zustandsraumes aufzufassen. Ferner wird die Beziehung zwischen Wirkungsformen und dem Konzept der virtuellen Arbeit untersucht. Dies führt sowohl zur Lagrange'schen wie auch zur Hamel'schen Zentralgleichung. Diese variationelle Sichtweise wird fortgesetzt indem gezeigt wird, dass eine Bewegung, welche durch eine exakte Wirkungsform charakterisiert ist, das Prinzip von Hamilton erfüllt. Hierfür wird das Wirkungsintegral koordinatenfrei definiert. Schließlich werden Bindungen als mit der Zeitstruktur verträgliche Distributionen auf der Galilei-Mannigfaltigkeit des mechanischen Systems eingeführt. Folglich wird das Unterscheiden zwischen holonomen und nichtholonomen Bindungen zu einer Anwendungen des Satzes von Frobenius.
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