Investigation of multistability-affected period-incrementing and period-adding structures in a model of a power converter with symmetry

Abstract

Although the established theory of non-linear dynamical systems is effective at describing physical systems and phenomena, the theory has been developed with a focus on smooth systems, limiting its applicability in certain areas. This limitation becomes apparent when modeling piecewise-smooth systems such as electrical systems that contain at least one switching element or mechanical systems with collisions. This thesis deals with a model of a DC/AC power converter that is piecewise-smooth, discontinuous, and has a certain symmetry. The definition of this model is exceptionally complex, and the model exhibits an unusual period-incrementing structure that is affected by multistability. This thesis identifies the characteristics of the model that lead to this unusual bifurcation structure by constructing an archetypal model that exhibits the same bifurcation behavior. It follows a description of the dynamics of the archetypal model and an explanation of the bifurcation structure using the description of the dynamics. Additionally, this thesis demonstrates that the proposed archetypal model can exhibit behavior leading to bifurcation structures that are related to period-adding structures. The resulting bifurcation structures behave unexpectedly, and this behavior is explained by leveraging the symmetry present in both the archetypal and the original model. Using the symmetry present, the mathematical rules governing the resulting bifurcation structures are derived from the rules governing classical period-adding structures.

Obwohl die Theorie nicht-linearer dynamischer Systeme viele physikalische Systeme sehr gut beschreiben kann, wurde sie hauptsächlich für glatte Systeme entwickelt, was ihre Nützlichkeit in einigen Anwendungen einschränkt. Insbesondere können viele Ergebnisse der Theorie in stückweise glatten Modellen von dynamischen Systemen nicht verwendet werden. Beispiele solcher Systeme sind elektronische Systeme mit mindestens einem schaltenden Element oder mechanische Systeme mit Zusammenstößen. Diese Arbeit beschäftigt sich mit einem Modell, welches einen Stromrichter modelliert und daher stückweise glatt und sogar unstetig ist. Das Modell ist außerdem symmetrisch, sehr komplex und führt zu einer unüblichen Perioden-inkrementierenden Bifurkationsstruktur, welche von Multistabilität betroffen ist. Diese Arbeit identifiziert die Charakteristiken dieses Modells, die diese unübliche Bifurkationsstruktur verursachen, indem sie ein archetypisches Modell konstruiert, welches dasselbe Bifurkationsverhalten aufzeigt. Darauf folgt eine Beschreibung des Verhaltens des archetypischen Modells und eine Erklärung der unüblichen Bifurkationsstruktur mithilfe des zuvor beschriebenen Verhaltens des archetypischen Modells. Zudem demonstriert die Arbeit, dass das archetypische Modell auch Verhalten aufzeigen kann, welches zu Bifurkationsstrukturen führt, die mit Perioden-addierenden Bifurkationsstrukturen verwand sind. Diese Bifurkationsstrukturen zeigen unerwartetes Verhalten. Dieses Verhalten wird erklärt, indem das archetypische Modell mithilfe der Symmetrie reduziert wird. Mithilfe des reduzierten archetypischen Modells lassen sich Regeln für die unerwarteten Bifurkationsstrukturen aus den Regeln für klassische Perioden-addierenden Bifurkationsstrukturen herleiten.