Nonlinear dynamics of the tippedisk : a holistic analysis

Abstract

This dissertation deals with the tippedisk which is a new mechanical-mathematical archetype for friction-induced instabilities and exhibits an energetically counterintuitive inversion phenomenon. In a holistic analysis, the dynamics of the tippedisk is investigated numerically in the field of multibody simulation, theoretically in the field of nonlinear dynamics, and experimentally in the focus of applied physics. Based on different nonsmooth rigid body models with set-valued force laws, the main physical mechanisms inducing the inversion behavior are identified and the governing system equations are derived. Subsequent model reduction results in a reduced system in the form of an ordinary differential equation, which is suited to be studied in the context of nonlinear dynamics. Both the local stability behavior of the non-inverted and inverted stationary spinning motions as well as the global proof of an existing heteroclinic saddle connection allow the dynamic behavior of the tippedisk to be captured analytically. The particular structure of the mathematical model reveals a singularly perturbed dynamics that evolves on multiple time scales and is characterized by slow rolling and fast sliding motions of the tippedisk. Utilizing perturbation expansions and an analysis in dimensionless quantities, the qualitative dynamics is characterized by closed-form expressions, from which a global stability map is deduced. Based on this complete stability map, three different bifurcation scenarios are identified, which correspond to different geometric and inertia properties, defining three qualitatively different types of tippedisks. Finally, the mathematical investigation is complemented by high-speed experiments on a real test specimen. Qualitative comparison of experimental measurements with simulations at different levels of abstraction completes the holistic approach to the dynamic analysis of the tippedisk.

Diese Dissertation befasst sich mit der Stehaufscheibe (engl. Tippedisk), die einen neuen mechanisch-mathematischen Archetyp für reibungsinduzierte Instabilitäten bildet und ein energetisch nicht intuitives Inversionsphänomen aufweist. In einer ganzheitlichen Analyse wird die Dynamik der Stehaufscheibe sowohl numerisch im Bereich der Mehrkörpersimulation als auch theoretisch im Gebiet der nichtlinearen Dynamik und experimentell im Fokus der angewandten Physik untersucht. Basierend auf verschiedenen nicht glatten Starrkörpermodellen mit mengenwertigen Reibgesetzen, werden die erforderlichen physikalischen Mechanismen identifiziert, die das Inversionsverhalten induzieren. Die anschließende Modellreduktion resultiert in einem reduzierten System, in Gestalt einer gewöhnlichen Differentialgleichung, das im Hinblick auf die nichtlineare Dynamik untersucht wird. Sowohl die lokalen Stabilitätseigenschaften der nicht-invertierten und invertierten Drehbewegungen als auch der globale Nachweis eines heteroklinen Orbits erlauben es, das dynamische Verhalten der Stehaufscheibe analytisch zu erfassen. Hierbei offenbart die Systemstruktur eine singuläre Dynamik auf mehreren Zeitskalen, die sich durch langsame Rollbewegungen und schnelles Gleiten auszeichnet. Mithilfe von Störungsansätzen und dimensionsloser Analyse wird die qualitative Dynamik in geschlossener Form charakterisiert, woraus sich eine globale Stabilitätskarte ableiten lässt. Anhand der ermittelten Stabilitätskarte lassen sich drei Bifurkationsszenarien erkennen, die wiederum drei qualitativ verschiedene Typen von Stehaufscheiben definieren. Die mathematische Untersuchung wird abschließend durch exemplarische Experimente an einem realen Prüfkörper ergänzt. Ein qualitativer Vergleich von experimentellen Messungen mit Simulationen auf verschiedenen Abstraktionsleveln komplettiert die ganzheitliche Analyse der Stehaufscheibe.