Implementierung eines Verfahrens höherer Ordnung zur numerischen Simulation reaktiver Strömungen auf unstrukturierten Rechengittern

Abstract

Diskretisierungsverfahren hoher Ordnung, die sich auf unstrukturierten Rechengittern einsetzen lassen, bieten ein großes Potential zur Reduzierung der Rechenzeiten von detaillierten Grobstruktursimulationen. Gleichzeitig lässt sich gegenüber strukturierten Diskretisierungsansätzen eine hohe geometrische Flexibilität für die Generierung der Rechengitter realisieren. Viele Verfahren, die eine höhere Rekonstruktionsordnung auf unstrukturierten Gittern ermöglichen, beruhen auf der Einführung von zusätzlichen Freiheitsgraden innerhalb der Berechnungselemente. Ihre Implementierung in etablierte Finite-Volumen Strömungslöser ist jedoch aufgrund großer Unterschiede in den Datenstrukturen mit einem hohen Aufwand verbunden. Doch auch unstrukturierte Finite-Volumen Verfahren, welche eine höhere räumliche Fehlerordnung durch eine nicht-kompakte Rekonstruktion ermöglichen, verlangen einen hohen Implementierungsaufwand, um eine parallele Skalierbarkeit zu realisieren. Ein vielversprechender Ansatz zur Erhöhung der räumlichen Genauigkeit von etablierten unstrukturierten Finite-Volumen-Lösern stellt das k-exakte Multi-Korrekturverfahren dar. Der Schlüssel der Methode ist eine sukzessive Korrektur von approximativen Green-Gauss-Ableitungen, die eine Rekonstruktion hoher Ordnung mit guten Parallelisierungseigenschaften und einem moderatem Implementierungsaufwand ermöglicht. In dieser Arbeit wird der k-exakte Multi-Korrekturansatz, welcher ursprünglich für kompressible Strömungsprobleme und für zellzentrierte Rechengitter entwickelt wurde, für die Anwendung auf einer knotenzentrierten Gitterrepräsentation erweitert und für die Exaktheiten k = 1 und k = 2 in den DLR Strömungslöser ThetaCOM implementiert. Des Weiteren wird die Methode mit einem Druckkorrektur-Verfahren für die zeitgenaue Diskretisierung der Erhaltungsgleichungen reaktiver Fluide bei niedrigen Mach-Zahlen kombiniert. Hierfür werden entsprechende Korrekturterme hergeleitet. Des Weiteren wird die in ThetaCOM implementierte Approximation der konvektiven und diffusiven Flüsse mit dem k-exakten Rekonstruktionsansatz vereint. Für die Berechnung der konvektiven Flüsse wird außerdem ein Ansatz vorgestellt, mit dem sich die Bestimmung der numerischen Dissipation zur Stabilisierung des Verfahrens auf ein Minimum reduzieren lässt. Dieser beruht auf der Herleitung einer Stabilitätsgleichung, welche aus einer Von-Neumann-Stabilitätsanalyse für eine lineare Advektions-Diffusion-Gleichung hervorgeht und deren Lösung zur Beschleunigung des Verfahrens indirekt in einem Verbund aus kompakten neuronalen Netzwerk-Modellen tabelliert wird. Dieser Ansatz wird mit einem Verfahren zur Gradientenlimitierung gekoppelt, um mit dem Diskretisierungsverfahren eine akkurate Auflösung von steilen Lösungsgradienten zu ermöglichen, welche in Verbrennungssimulationen in unmittelbarer Nähe zur Flammenfront auftreten. Für das implementierte Multi-Korrekturverfahren wird die räumliche Genauigkeit der verschiedenen numerischen Operatoren durch zahlreiche kanonische Testfälle verifiziert. Es wird gezeigt, dass sich die räumlichen Gradienten der Feldgrößen infolge der k-exakten Korrekturen mit einer wesentlich höheren Genauigkeit approximieren lassen. Des Weiteren lässt sich der diffusive Transport durch beide Schemata mit einer zweiten räumlichen Fehlerordnung und der konvektive Transport für k = 1 und k = 2 mit jeweils einer zweiten beziehungsweise dritten Fehlerordnung approximieren. Durch die Simulation zahlreicher laminarer und turbulenter Strömungsprobleme werden die beiden k-exakten Diskretisierungsverfahren mit experimentellen und numerischen Referenzdaten aus der Literatur validiert. Dabei wird der Einfluss der höheren Ordnung auf die räumliche Genauigkeit im Vergleich zu einem konventionellen Diskretisierungsverfahren beleuchtet. Hierbei wird insbesondere das Potential der beiden k-exakten Verfahren hinsichtlich der Einsparung von Rechenzeit und Freiheitsgraden dargestellt, sowie deren Fähigkeit zur Erhaltung der parallelen Skalierungseigenschaften von ThetaCOM. Ein weiterer Fokus liegt auf dem neuen Ansatz zur adaptiven Bestimmung der numerischen Dissipation und dessen Kopplung mit der implementierten Methode zur Gradientenlimitierung. Im Vergleich zur Rekonstruktion hoher Ordnung mit einer konstanten numerischen Dissipation liefert die vorgestellte adaptive Methode konsistente und genaue Ergebnisse, unabhängig vom Strömungsproblem und ohne eine Feinjustierung von empirischen Parametern. Abschließend wird für den Testfall einer turbulenten Wasserstoff-Luft-Diffusionsflamme demonstriert, dass sich beide Verfahren zur Simulation von turbulenten, reaktiven Strömungen auf vollständig unstrukturierten Rechengittern einsetzen lassen und eine deutliche Verbesserung des Simulationsergebnisses im Vergleich zu einem konventionellen Diskretisierungsansatzes bewirken.