Mehrskalenmodelle in der Festkörpermechanik und Kopplung von Mehrgittermethoden mit Homogenisierungsverfahren

Abstract

Ziel dieser Arbeit ist die Formulierung von nichtlinearen homogenisierten Ersatzmodellen für mikroheterogene Materialien und die Konstruktion problemabhängiger Transferoperatoren für Mehrgitterverfahren. Beide Themenkomplexe haben eine effiziente Beschreibung heterogener Festkörperstrukturen zum Ziel. Die Simulation von Verbundstrukturen stellt ein sehr komplexes Problem dar, insbesondere wenn die Skalenabhängigkeit des Werkstoffs miteinbezogen wird. Dies gründet darin, daß die Dimension des makroskopischen Randwertproblems und die Abmessungen der Heterogenitäten auf der Mikroskale stark voneinander abweichen können. In diesem Fall ist eine effiziente Modellierung nur durch geeignete Mehrskalenbildung möglich. In dieser Arbeit werden analytische und neu entwickelte numerische Homogenisierungsmodelle für Skalenübergänge aufbereitet. Im Gegensatz zu analytischen Konzepten gestattet die Methode der Finite Elemente universelle Einsatzmöglichkeiten der numerischen Modelle. Die neuen numerischen Ansätze basieren auf diskreten Variationsprinzipien, deren Umsetzung auf der Mikroskale die Lösung eines Randwertproblems mit speziellen Randbedingungen erfordert: (i) lineare oder (ii) periodische Randverschiebungen oder (iii) homogene Randspannungen auf dem Rand einer charakteristischen Mikrostruktur. Die Effizienz der neuen numerischen Ersatzmodelle wird anhand repräsentativer Einheitszellen verifiziert. Bei kleiner Skalenseparation führt die direkte numerische Diskretisierung des Verbundwerkstoffs in der Regel auf großdimensionierte Gleichungssysteme, die den Einsatz schneller Löser, wie Mehrgitterverfahren, bedingen. Bei Mehrgittermethoden liegt die Schwierigkeit in der Konstruktion geeigneter Transferoperatoren. In dieser Arbeit wird dieses Problem durch Einbeziehung der neu entwickelten Homogenisierungstechniken gelöst. Effizienz und Anwendungsgrenzen der neuen Transferoperatoren werden an typischen Modellproblemen im Vergleich zu alternativen Konzepten aufgezeigt.

Goal of this thesis is the formulation of nonlinear homogenized models for micro-heterogeneous materials and the construction of problem dependent transfer operators for multigrid methods. Both topics focus upon the efficient description of heterogeneous solid structures. The simulation of composits represents a major problem, particularly whenever scale effects inside materials are taken into account, since the dimension of the macroscopic boundary value problem may distinctly differ from the dimension of the heterogeneities on the microscale. In this case, efficient modelling is only achieved by means of an adequate multiscale formation. In this thesis, analytical and recently developed numerical homogenization models are prepared with regard to scale transitions. In contrast to analytical concepts, the finite element method allows all-purpose applications of numerical methods. The points of departure of the new approaches are discrete variational principles yielding the solution of a boundary value problem on the microscale in conjunction with special boundary conditions: (i) linear or (ii) periodic boundary displacements or (iii) homogeneous stresses on the boundary of a characteristic microstructure. The efficiency of the new homogenization models is verified within selected unit cell problems. In case of a small scale separation, the direct numerical discretization of composits generally leads to large systems of equations requiring the application of fast solvers such as multigrid methods. These multigrid methods imply the construction of suitable transfer operators. The key idea in this thesis is to incorporate the newly developed homogenization techniques. The efficiency and limits of the new transfer operators are investigated within the scope of typical model problems in comparison with alternative transfer concepts.