Anwendung der Methode der Parabolischen Gleichung in Strahlenkoordinaten zur Analyse dielektrischer Linsenantennen

Abstract

Die Arbeit behandelt ein neuartiges Verfahren zur Analyse von Linsenantennen, d.h. zur Berechnung der Eigenschaften der Linse als dielektrischer Streukörper mit dem Ziel, die Richtcharakteristik der gesamten Antenne zu bestimmen. Für die Analyse von dielektrischen Linsen sind bisher zwei grundsätzlich verschiedene Verfahren gebräuchlich, die Geometrische Optik und asymptotisch exakte Methoden. Bei Linsen, die sehr groß gegenüber der Wellenlänge sind, kommt das strahlenbasierte Verfahren der Geometrischen Optik in Betracht. Dieses setzt aber voraus, dass ein einziger Strahl eine lokal ebene Welle repräsentiert und Strukturen, auf die ein Strahl trifft, groß gegenüber der Wellenlänge sind. Die Folge ist eine zunehmende Ungenauigkeit der Geometrischen Optik, je kleiner die Linse wird. Eine unabhängig von der Linsengröße genaue Möglichkeit zur Analyse von dielektrischen Linsen besteht in der Verwendung von sogenannten asymptotisch exakten Verfahren wie der Momentenmethode (MoM) oder Finiten Differenzen im Zeitbereich (FDTD). Für deren effiziente Anwendung ist die Linse mit ihrem Durchmesser von mehreren Wellenlängen bis einigen zehn Wellenlängen jedoch i.Allg. zu groß, d.h. die Analyse erfordert eine beträchtliche Rechenzeit und hat einen erheblichen Bedarf an Speicherplatz. Die Tatsache, dass die Linse für die Anwendung der Geometrischen Optik eher zu klein und für die Verwendung asymptotisch exakter Methoden eher zu groß ist, erfordert das Beschreiten eines Mittelwegs. Ein solcher ist aus dem Gebiet der Wellenausbreitung bekannt, und zwar die Methode der Parabolischen Gleichung (PE). Es wird diskutiert und anhand von Beispielen gezeigt, inwiefern diese Methode zur Analyse von dielektrischen Linsen, die eine nicht näher festgelegte Form aufweisen, verwendet werden kann. Dabei ist es erforderlich, die Parabolische Gleichung in orthogonalen Strahlenkoordinaten zu lösen. Da es sich um Grundsatzuntersuchungen handelt, erfolgt eine Beschränkung auf das Zweidimensionale. Der Ausgangspunkt für das Aufstellen der Parabolischen Gleichung liegt in der elliptischen Wellengleichung für ein Skalar, der Helmholtzgleichung. In Kapitel 2 werden elektrische und magnetische Vektorpotentiale eingeführt, deren Wellengleichungen angegeben, und es wird aufgezeigt, wie Potentiale und Feldstärken ineinander umgerechnet werden können. Kapitel 3 zeigt den Zusammenhang zwischen Strahlenkoordinaten und kartesischen Koordinaten. Es erfolgt eine Herleitung der Vektoroperatoren, die erforderlich sind, um die skalare Wellengleichung in Strahlenkoordinaten zu formulieren. Kapitel 4 behandelt die Herleitung der Parabolischen Gleichung aus der Helmholtzgleichung. Es wird gezeigt, wie die Parabolische Gleichung mittels finiter Differenzen in Strahlenkoordinaten gelöst werden kann. Gaußsche Strahlen werden kurz gestreift, da die Summation gaußscher Strahlen mit der bei der Linsenanalyse häufig anzutreffenden Überlagerung von Elementarquellen verwandt ist. Die gebräuchlichen Methoden zur Analyse dielektrischer Streukörper werden in Kapitel 5 genannt. Neben der Geometrischen Optik und der Verwendung asymptotisch exakter Methoden wird auf die die Fresnel-Integral-Methode eingegangen. Kapitel 6 widmet sich den Besonderheiten bei der Anwendung der Methode der Parabolischen Gleichung auf die Analyse von Linsenantennen. Der Schwerpunkt liegt in einer Erörterung, auf welche Art und Weise der Verlauf der Ausbreitungswege festzulegen ist, entlang derer die Parabolische Gleichung schrittweise gelöst wird. Bei der Analyse von Linsenantennen ist es zweckmäßig, die Parabolische Gleichung ausgehend von der Linseneintrittsfläche zu lösen. Es wird ein Verfahren aufgezeigt, wie die Parabolische Gleichung in Bereichen gelöst werden kann, in denen die Ausbreitungswege nicht im rechten Winkel zur Anfangsfront stehen. Dadurch ist es möglich, im Verlauf einer Rechnung zwischen zwei Koordinatensystemen umzuschalten, z.B. um sich schneidende Strahlen zu vermeiden oder die Richtung der Ausbreitungswege an die tatsächliche Ausbreitungsrichtung der elektromagnetischen Welle anzupassen. Anwendungsbeispiele sind in Kapitel 7 zu finden. Zunächst wird gezeigt, wie sich schräg von einer Anfangsfront abgehende Ausbreitungswege in der Praxis bewähren und wie das Ergebnis durch eine während der Berechnung zweifach erfolgte Anpassung des Verlaufs der Ausbreitungswege an die zu erwartende Ausbreitungsrichtung der elektromagnetischen Welle verbessert werden kann. Anschließend wird eine aus der Literatur bekannte Linsenantenne analysiert und das Ergebnis mit der Berechnung nach einer asymptotisch exakten Methode verglichen. Dadurch kann gezeigt werden, dass die Methode der Parabolischen Gleichung die Probleme der Geometrischen Optik bei kleinen Streukörpern zu überwinden hilft, ohne dass ein Rechenzeit- und Speicherplatzaufwand entsteht, wie er bei den asymptotisch exakten Methoden anzutreffen ist.

The topic of this thesis is a new method for analysing lens antennas. Analysis means the calculation of the properties of the lens as a dielectric scattering body in order to determine the radiation pattern of the lens antenna as a whole. Today, for the analysis of the radiation pattern typically two different methods are used: Geometrical Optics and asymptotically accurate methods. If the lens is very large compared to the wavelength, Geometrical Optics may be applied. This ray-based method presupposes that a single ray represents a locally plane wave and that a structure being hit by a ray is large compared to the wavelength. As a consequence, Geometrical Optics is increasingly inaccurate with the lens becoming smaller. For an analysis which is precise independent of the size of the lens, so-called "asymptotically accurate methods" like the Method of Moments (MoM) or Finite Differences in Time Domain (FDTD) can be used. In order to keep the application of asymptotically accurate methods efficient, the lens diameter should not exceed a certain number of wavelengths. Typical lenses as used with lens antennas lead to an enormous amount of calculation time and a huge consumption of memory when being analysed by means of asymptotically accurate methods. Hence, one can state that dielectric lenses which are used in common lens antennas are in general too small to be analysed precisely by means of Geometrical Optics, but too large for an efficient application of asymptotically accurate methods. There is a demand to find a new way. A feasible approach is known with wave propagation, viz the Parabolic Equation Method (PE). It is discussed and shown by examples, how PE may be applied to the analysis of lens antennas, i.e. to the wave propagation inside a dielectric lens, for which owing to the basic character of this investigation twodimensionality is assumed. To this end, the Parabolic Equation is solved in 2D orthogonal ray co-ordinates. The starting point to set up the Parabolic Equation is the elliptic wave equation for a scalar, which is known as Helmholtz's equation. In Chapter 2, electric and magnetic vector potentials are introduced, the wave equations for the vector potentials are given and it is shown, in which way field strength and potential values can be converted mutually. Chapter 3 gives the interrelation between ray co-cordinates and Cartesian co-ordinates. Vector operators, which are necessary to formulate the scalar wave equation in ray co-ordinates, are derived. In chapter 4, the deduction of the Parabolic Equation from the Helmholtz equation is treated. It is shown, in which way the Parabolic Equation can be solved by means of finite differences in ray co-ordinates. A glance at Gaussian beams follows, as the Gaussian Beam Summation Method is related to the superposition of elementary sources, which are often used for lens analysis. Chapter 5 introduces the methods of common use for lens analysis. Besides Geometrical Optics and the use of asymptotically accurate methods, the Fresnel Integral Method, which is related to Physical Optics, is considered in detail. Particularities of the Parabolic Equation Method that occur especially when it is applied to the analysis of dielectric lenses are dealt with in chapter 6. The focus is on the question, in which way the direction of the propagation paths, along which the PE is solved, shall be determined. When analysing a dielectric lens, it is appropriate to solve the Parabolic Equation from that part of the lens surface, at which the radiation of the primary antenna enters the lens. Thus, a method is derived, by which the Parabolic Equation can be solved, if propagation paths are not orthogonal to the line containig the initial values. With this method it is possible to switch between different co-ordinate systems during one PE calculation, e.g. to avoid intersecting propagation paths or to adapt them to the actual direction of wave propagation. Application examples can be found in chapter 7. First, it is shown that propagation paths, which are not orthogonal to the line of the initial values, can be used in practice and that the result of the PE calculation can be improved by means of a twofold adaption of the propagation paths to the acutal direction of wave propagation. Then, a lens antenna known from literature is analysed. The result of the PE calculation is compared with the result of an asymptotically accurate method. It is apparent that the Parabolic Equation Method helps to overcome the limitations of Geometrical Optics with respect to dielectric scattering bodys being small compared to the wavelength without leading to a computation time and memory consumption comparable to asymptotically accurate methods.