Multiphasic flow processes in deformable porous media under consideration of fluid phase transitions

Abstract

Within this contribution, a multiphasic, continuum mechanical model for the description of porous materials with several fluid constituents under consideration of non-isothermal conditions and phase transition processes between liquid and gaseous pore water was presented based on the well-founded framework of the Theory of Porous Media (TPM). The required thermodynamically consistent constitutive relations were derived via an evaluation of the entropy inequality. In the following, this general model was reduced to a triphasic one consisting of a solid, a liquid water and an overall gas phase, which was built by water vapor and air. Furthermore, a special attention was taken on the numerical treatment of multiphasic flow processes. Finally, the presented initial-boundary value problems showed the capability of the discussed model to simulate engineering problems of practical relevance.

In particular, concerning the derived continuum mechanical model, each phase of the porous material is governed by its individual temperature. The solid skeleton is assumed to behave like an elasto-viscoplastic, the pore fluids like viscous materials. Furthermore, the solid skeleton as well as the pore liquids are described in a mechanical sense as materially incompressible constituents, whereby their effective densities are only a function of the respective temperatures. The gaseous pore fluid constituents are assumed to behave like ideal gases building together one overall pore gas phase. It could be shown that the ratio between the partial pressure of a gaseous component within the overall gas phase and the overall effective gas pressure is given by the respective molar fraction, whereas the overall effective gas pressure is given by the sum of the partial pressures of the gaseous constituents, which corresponds directly to Dalton's law.

The numerical treatment of the presented triphasic model is based on the finite element method (FEM), whereas extended Taylor-Hood elements with quadratic ansatz functions for the solid displacement vector and linear ansatz functions for the pore fluid pressures and saturations as well as the temperatures are used. Furthermore, the special numerical treatment of multiphasic flow processes in porous materials was discussed, which led to the application of a certain stabilization technique to overcome the occurring numerical problems.

Finally, the presented multiphasic porous media model was applied to several two- and three-dimensional initial boundary-value problems, where the FE tool PANDAS/M++ was used. Particularly, typical pollutant infiltration and slope failure problems, injection processes of heated pore gas into a water saturated porous material and the so-called heatpipe problem were discussed. It could be shown that the model is capable to describe the strong interaction between the pore fluids flow and the deformable soil matrix as well as the occurring thermal effects and phase transitions processes between liquid and gaseous pore water.

In den unterschiedlichsten Bereichen des Ingenieurwesens werden Materialien betrachtet, die als poröse Medien aufgefaßt werden können, wie z. B. Metall- oder Polyurethanschäume, biologische Gewebe wie die Bandscheibe oder natürliche Böden. Dabei zählt der natürliche Boden zu den interessantesten aber auch am schwierigsten zu beschreibenden porösen Materialien, die unser tägliches Leben in vielen Fällen beeinflussen. Das Versagen einer Böschung nach einem starken Regenereignis kann zur Zerstörung von Straßen oder Eisenbahnlinien führen, während ein Schadstoffeintrag nach einem Verkehrsunfall eines Tanklastzugs zur Verschmutzung des Grundwassers führen kann. Die Vorhersage des Materialverhaltens von natürlichen Böden mittels numerischen Simulationen ist daher ein äußerst wichtiger Punkt, um solche katastrophalen Zwischenfälle zu verhindern bzw. ihre Auswirkungen abzuschätzen. Die dabei benötigten mechanischen Modelle können basierend auf einem kontinuumsmechanischen Ansatz im Rahmen der Theorie Poröser Medien (TPM) entwickelt werden. Dabei müssen für eine möglichst genaue Abbildung der Realität in dem zugrunde liegenden mechanischen Modell neben einer deformierbaren Bodenmatrix (Festkörperskelett) mindestens zwei Porenfluide, z. B. Porenluft und Porenwasser, berücksichtigt werden.

Es ist das Ziel dieser Arbeit, ein thermodynamisch konsistentes, kontinuumsmechanisches Modell im Rahmen der Theorie Poröser Medien zu entwickeln, das als Grundlage für die numerische Simulation der oben genannten Problemstellungen dient. Dabei werden innerhalb eines nicht-isothermen Ansatzes ein deformierbares Festkörperskelett sowie mehrere Porenfluide unter Berücksichtigung von Phasenübergängen zwischen flüssigem und gasförmigem Porenwasser berücksichtigt. Die numerische Umsetzung erfolgt mit Hilfe der Finite-Elemente-Methode (FEM) mit einem speziellen Fokus auf der numerischen Behandlung von Mehrphasenströmungsprozessen. Abschließend werden anhand von mehreren numerischen Beispielen die Fähigkeiten des entwickelten Modells zur Simulation von praxisrelevanten zwei- und dreidimensionalen Anfangs-Randwertproblemen aufgezeigt.

Nach der Einführung der kinematischen Beziehungen sowie der mechanischen und thermischen Bilanzgleichungen werden thermodynamisch konsistente Konstitutivgleichungen für ein nicht-isothermes Mehrphasenmodell bestehend aus einem deformierbaren, elasto-viskoplastischen Festkörperskelett und einer beliebigen Anzahl von inkompressiblen und kompressiblen Fluidkonstituierenden basierend auf einer Auswertung der Entropieungleichung hergeleitet. Dabei wird jede Phase von ihrer jeweils eigenen Temperatur regiert und Phasenübergänge zwischen flüssigem und gasförmigem Porenwasser berücksichtigt. Abschließend werden die bestimmenden Bilanzgleichungen sowie die zugehörigen Konstitutivgleichungen für ein nicht-isothermes Dreiphasenmodell bestehend aus einem elasto-viskoplastischen Festkörperskelett, einer inkompressiblen, flüssigen Porenwasserphase und einer kompressiblen Porengasphase konkretisiert. Die Gasphase wird dabei von zwei kompressiblen Gaskomponenten, Porenluft und gasförmigem Porenwasser, gebildet.

Die numerische Umsetzung des entwickelten Mehrphasenmodells erfolgt mit Hilfe der Finite-Elemente-Methode (FEM). Dabei werden zuerst die schwachen Formulierungen der benötigten Bilanzgleichungen für den quasi-statischen Fall hergeleitet. Ihre räumliche Diskretisierung basiert auf erweiterten Taylor-Hood-Elementen mit quadratischen Ansatzfunktionen für die Festkörperverschiebung und linearen Ansatzfunktionen für die Porenfluiddrücke bzw. Sättigungen und Temperaturen. Für die Zeitdiskretisierung wird das implizite Euler-Verfahren verwendet. Das vollständig diskretisierte System liefert ein nichtlineares Gleichungssystem, daß mit dem Newton-Raphson-Verfahren gelöst werden muß. Auf Grund auftretender numerischer Probleme bei der Simulation von Mehrphasenströmungsprozessen unter Verwendung der Porenfluiddrücke als Freiheitsgrade für die Porenfluide, wird die Sättigung als alternativer Freiheitsgrad eingeführt. Dies kann allerdings zu Oszillationen in der Lösung führen, die aber durch die Anwendung eines geeigneten Stabilisierungsverfahrens verhindert werden können.

Abschließend werden verschiedene numerische Beispiele vorgestellt, die die Möglichkeiten des entwickelten nicht-isothermen Dreiphasenmodells aufzeigen. Dafür wurde das entwickelte Modell in das FE-Programmpaket PANDAS/M++ implementiert. Im einzelnen werden die Simulationsergebnisse von Schadstofftransportproblemen in heterogenen porösen Materialien, Stabilitätsuntersuchungen von natürlichen Böschungen, nicht-isotherme Injektionsprozesse in wassergesättigte Böden sowie Verdampfungs- und Kondensationsvorgänge von Porenwasser diskutiert.