Robuste Multilevel-Lösung elliptischer partieller Differentialgleichungen mit springenden Koeffizienten

Abstract

In dieser Arbeit wird eine robuste Multilevel-Lösung für elliptische partielle Differentialgleichungen mit springenden Koeffizientenfunktionen im Kontext der Partition of Unity Methode realisiert und analysiert. Bei dieser gitterfreien Methode müssen die Koeffizientensprünge nicht auf dem gröbsten Level geometrisch aufgelöst sein, vielmehr kann durch geeignete Anreicherungsfunktionen mittels algebraischer Verfeinerung die Approximationsqualität verbessert werden. Die Implementierung eines stabilen und robusten Multilevel-Lösers sowie die Realisierung verschiedener Anreicherungsfunktionen sind Kernbereich dieser Arbeit. Insbesondere werden verschiedene Anreicherungsfunktionen entwickelt und deren Auswirkung im Hinblick auf die Robustheit des Lösers untersucht. Mögliche Ursachen für nicht robustes Verhalten des Lösers werden in diesem Zusammenhang detailliert diskutiert und Ansätze für Verbesserungen gegeben. Der realisierte Multilevel-Löser zeigt im Vergleich zu früheren Arbeiten effizienteres und für viele Fälle durchaus robustes Verhalten. Einfache Distanzfunktionen führen dabei i. A. zu den besten Ergebnissen jedoch lässt sich durch alleinige Verbesserung der Approximationsqualität der lokalen Anreicherungsräume die Effizienz und Robustheit des Lösers aufgrund schlechterer Glättungseigenschaften nicht beliebig steigern.