Die Simulation von schwach kompressiblen Strömungen auf körperangepassten, strukturierten Gittern

Abstract

Der von Klein und Munz vorgestellt Ansatz mit mehreren Druckvariablen wird in dieser Arbeit auf die kompressiblen Navier-Stokes Gleichungen angewandt. Es wird ein Computerprogramm zur Simulation von schwach kompressiblen und inkompressiblen Strömungen entwickelt. Das numerische Verfahren basiert auf einer semi impliziten fractional-step Methode und kann als Erweiterung einer inkompressiblen Projektionsmethode betrachtet werden. Die kompressiblen Navier-Stokes Gleichungen werden in zwei Teilsysteme aufgeteilt, die verschiedene physikalische Effekte beschreiben.Das erste System enthält die Konvektions- und Diffusionsterme. Auf Grund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten im Regime kleiner Machzahlen, werden die konvektiven Terme explizit mit einem Upwind-Verfahren in Kombination mit einem MUSCL-Ansatz diskretisiert. Die diffusiven Terme werden implizit diskretisiert, so dass keine parabolische Zeitschrittweitenbeschränkung vorliegt. Das zweite System behandelt Effekte, die sich mit Schallgeschwindigkeit ausbreiten und wird mit einem SIMPLE-Typ Verfahren gelöst. Der zeitliche Ablauf basiert auf dem Strang-Splitting, so dass die beiden Teilsysteme in zwei aufeinander folgenden Zeitschritten in alternierenden Reihenfolge gelöst werden. Die auftretenden kinearen Gleichungssysteme werden mit verschiedenen vorkonditionierten Krylov-Unterraum Methoden iterativ gelöst. Um die Rechenzeit auf einem Vektorrechner zu optimieren, werden verschiedene Vektorisierungstechniken vorgestellt und diskutiert. Für eine grosse Anzahl an Unbekannten sind die Krylov-Unterraum Methoden ineffizient. Daher wird ebenfalls ein Mehrgitterverfahren mit verschiedenen Restriktions- und Prolongationsoperatoren implementiert, so dass auch sehr fein diskretisierte Strömungsgebiete in einer akzeptablen Rechenzeit berechnet werden können. Um auch Strömungen in krummlinig berandeten Gebieten simulieren zu können werden die zugrundeliegenden Gleichungen in allgemeinen Koordinaten formuliert. Es wird sowohl ein Verfahren mit einer Kombination aus kontravarianter und karthesischer Darstellung der Strömungsgeschwindigkeiten als auch eine reine kontravariante Formulierung vorgestellt und diskutiert. Die Simulation von Strömungen im Bereich grosser Reynoldszahlen erfordert eine feine Diskretisierung des wandnahen Gebiets. Mit Hilfe von Turbulenzmodellen erhält man jedoch auch auf gröberen Gittern physikalisch sinnvolle Ergebnisse. In dieser Arbeit wird das Baldwin-Lomax Modell als eines der bekanntesten algebraischen Turbulenzmodellen implementiert. Zur Validierung des numerischen Verfahrens wird als Testfall die temperaturgetriebene Konvektionsströmung in einer Box, die Umströmung eines Kreiszylinders und die NACA0012-Profilumströmung untersucht und die Ergebnisse mit experimentellen Daten verglichen

The MPV-Ansatz with multiple pressure variables presented by Klein und Munz is applied to the compressible Navier-Stokes equations. A computer program for the simulation of weakly compressible and incompressible flows in complex geometries is developed and applied to engineering problems. The numerical method is a semi-implicit fractional-step approach and may be considered as an extension of an incompressible projection scheme to the low Mach number regime. The compressible Navier-Stokes equations are split into two subsystems describing different physical phenomena. The first system contains the convection and diffusion terms. Due to the small flow velocities in the low Mach number regime, the convective terms are discretized explicitly with an upwind-scheme in combination with a MUSCL-approach. The diffusive terms are discretized implicitly to avoid a parabolic time-step restriction.The second system contains the effects which propagate at the speed of sound and is solved with a SIMPLE-type scheme. According to the Strang-splitting, the two subsystems are solved in an alternating way in each time step. The arising linear systems are solved with various preconditioned Krylov-Subspace schemes. For better performance on a vector computer, different vectorization techniques are applied and compared with regard to their computing time. An increase of the number of unknowns leads to a loss of efficiency of the Krylov-Subspace schemes, while a multigrid scheme yields much better performance. Within the multigrid scheme, different restriction and prolongation operators are applied and evaluated with reference to computing time requirement. For the simulation of flows in complex geometries, the governing equations are transformed into general coordinates. An approach with a combination of the cartesian and the contravariant formulations for the flow velocities, as well as a pure contravariant formulation are presented and discussed. Flows in the regime of high Reynolds numbers contain a thin boundary layer which requires a fine grid resolution near the walls for the numerical simulation. However, with the aid of turbulence models, useful results can be obtained on a coarser grid. Here the Baldwin-Lomax model, as the most common representative of algebraic models is implemented. For the validation of the numerical scheme, the test cases of a temperature driven convection in a box, a flow around a circular cylinder and a flow around a NACA0012 profile are considered. The results are discussed and compared with experimental data.