Satellite to satellite tracking in the space-wise approach

Abstract

The launch of the champ mission in 2000 has renewed interest in the recovery of the geopotential field from satellite observations which has been a challenging research issue for decades. It was the first dedicated gravity field mission which was followed by the grace spacecrafts. In the grace mission, the high-low (hl-) and the low-low satellite-to-satellite tracking (ll-sst) observations are combined and the resultant observables are expressed in terms of the gravity gradient at the barycenter of two satellites. Each observation at its respective evaluation point can be written in terms of the spherical harmonic coefficients. Consequently, the observations are a sequence of discrete time series which are mathematically related to the unknown coefficients via the corresponding position of the satellites at the evaluation epoch. In this approach, which is called time-wise approach, the determination of unknown coeficients becomes possible after plugging the observations into the mathematical model. Fulfilling the sampling theorem, however, leads to a huge linear system of equations with a large number of unknowns. As an alternative, one can employ the semi-analytical approach which is derived from the time-wise approach by imposing some approximations. Observations are still considered as discrete time series on an ideal geometry with a constant radius and/or constant inclination. The coeficients are reordered and then computed via the lumped coefficients or using 2d fft. Another alternative is the space-wise approach in which the observations are mapped on a specific grid on the mean orbital sphere. In this approach, the observation values are predicted on the grid points and the coefficients are derived by implementation of the global spherical harmonic analysis on the gridded observations. Compared to the time-wise approach, the linear system of equations are split into smaller systems which can be solved very easily in ordinary pcs. In this thesis, the ll-sst problem is formulated both in the semi-analytical as well as the space-wise approach. The space-wise approach is then numerically implemented. Despite the spirit of modern geodesy to avoid reduction, the reduction of observations is required both in the semi-analytical and the space-wise approaches. Different formulations are used for down- or up-ward continuation of observations on the reference geometry. Optimality of the basis functions and their respective parameters is carefully treated by means of the Genetic Algorithms (ga). Optimizing the approximation methods is carefully investigated using the genetic algorithms. The idea of one-leave-out method or the so-called residual bootstrap approach is successfully used in the definition of the object functions. Compared to the classical error criterion, the modified object function results in a better solution. In order to reduce the linearization and the reduction error, the residual gravity field is recovered. In this study, an adaptive reference orbit is used. Furthermore, the determination of the best fitting reference orbit is expressed as a least squares and an optimization problem. Indeed, mathematical formulation of the gradiometry approach of the cubic order in terms of Taylor series is derived. The contribution of each individual term to the formulation is analyzed and the formulation is simplified accordingly. The relative velocity vector is combined with the high-accuracy ranging observations both in the acceleration difference and the gradiometry approaches. Since it is not directly observed it should numerically be derived from gps observations by means of numerical differentiation. In this regard, a few differentiation algorithms are studied for deriving the relative intersatellite velocity vector. Furthermore, the recovery of the residual field and computing the relative velocity using the reference field are alternatively utilized to bypass the numerical differentiation. Compared to the numerical differentiation, the alternative methods yield more accurate solution. The ranging system observations are more accurate than the gps measurements. Some condition equations are derived for adjusting the low-accuracy observations using the ll-sst measurements. It only improves the cross-track and radial components of the relative position vector whereas the along-track component of the relative velocity benefits from imposing the constraints. Finally, the previously derived formulation is used for recovery of the residual field. Two different iterative approaches are employed for determination of the residual gravity field using the grace non-invariant observable. To sum up, the gradiometry approach using a satellite pair is successfully implemented for the recovery of the residual gravity field in the space-wise approach.

Der Start der Kleinsatellitenmission champ im Juli 2000 hat das Interesse an der Bestimmung des Gravitationsfeldes der Erde aus Satellitenbeobachtungen, was bereits seit Jahrzehnten eine Herausforderung für die Wissenschaft darstellt, neu belebt. Diese Pionier-Satellitenmission zur Bestimmung des Schwerefeldes fand ihre Nachfolge in der grace Mission. Die grace Mission kombiniert die hl- and ll-sst Beobachtungen, um daraus den Schweregradient im Schwerpunkt der Doppelsatellitenkonfiguration abzuleiten. Jede dieser Schweregeradient-Beobachtungen kann als Kugelfunktionsreihe im zugehörigen Auswertepunkt dargestellt werden. Folglich kann die beobachtete Zeitreihe der Schweregradienten mithilfe der zum Beobachtungszeitpunkt bekannten Position des Auswertepunktes mit den unbekannten Koeffzienten der Kugelfunktionsreihe in Verbindung gebracht werden. Diese Vorgehensweise wird gewöhnlich time-wise approach genannt und ermöglicht die Bestimmung der Kugelfunktionskoe±zienten durch Zusammenführung aller Beobachtungen in ein gemeinsames mathematisches Modell. Dies führt bei Erfülltsein des Abttasttheorems zu einem riesigen System linearer Gleichungen mit einer sehr großen Anzahl von Unbekannten. Alternativ kann auch der sogenannte semi-analytic approach angewandt werden, der unter Hinzunahme von Nebenbedingungen vom time-wise approach abgeleitet ist. In dieser Vorgehensweise werden die Beobachtungen weiterhin als Zeitreihe aufgefaßt, den Orten der Beobachtungen wird aber eine ideale Geometrie mit konstantem Bahnradius und/oder konstanter Bahnneigung unterstellt. Die unbekannten Kugelfunktionskoeffizienten können dann durch 2d fft aus den sogenannten lumped-coefficients berechnet werden. Eine weitere Lösunsmöglichkeit ist der sogenannte space-wise approach, bei dem die Beobachtungen auf ein reguläres Gitter einer den mittleren Orbit repräsentierenden Kugel projiziert werden. Mittels globaler Kugelfunktionsanalyse können die unbekannten Kugelfunktionskoeffizienten aus den Gitterwerten abgeleitet werden. Im Vergleich zum time-wise approach zerfällt dabei das riesige Gleichungssystem in mehrere kleinere Systeme, die leicht auf einem Standard-PC gelöst werden können. In der vorgelegten Dissertation wird das ll-sst Problem sowohl im semi-analytic als auch im space-wise approach formuliert. Der space-wise approach wird dann numerisch implementiert. Entgegen der Tendenz der modernen Geodäsie, Reduktionen zu vermeiden, müssen sowohl im semi-analytic als auch im space-wise approach Reduktionen durchgeführt werden. Für diese notwendigen harmonischen Fortsetzungen der Beobachtungen auf eine Referenzfläche werden verschieden Formulierungen untersucht. Die sorgfältige Anwendung sogenannter Genetischer Algorithmen (ga) ermöglichte eine optimale Wahl der Basisfunktionen und der Parameter für diese harmonischen Fortsetzungen. Unter Zuhilfenahme Genetischer Algorithmen werden die Approximationsverfahren sorgfältig optimiert. Für die Deffinition der Zielfunktion werden sowohl die one-leave-out Technik als auch die so-genannte residual-bootstrap Methode erfolgreich eingesetzt. Im Vergleich zum klassischen Fehlerkriterium führen die modifizierte Zielfunktion zu einer besseren Lösung. Zur Reduktion des Linearisierungs- und Forsetzungsfehlers wird in der Dissertation statt des tatsächlichen Gravitationsfeldes nur das Residualfeld gegenüber eines Referenzfeldes betrachtet. Das Referenzfeld und der darauf basierende Referenzorbit werden adaptiv bestimmt. Die Bestimmung des bestangepassten Referenzorbits wird als Quadratmittel- und als Optimierungsproblem ausgedrückt. Eine mathematische Formulierung des Gravitationsgradienten bis einschließlich Glieder dritter Ordnung wird abgeleitet. Der Beitrag jedes einzelnen Terms in diese Formulierung wird analysiert und als Resultat dieser Analyse wird die Schweregeradientenformulierung dementsprechend vereinfacht. Sowohl in der Beschleunigungsdifferenzen- als auch in der Gradiometriemethode wird der Geschwindigkeitsvektor mit Abstandsmessungen kombiniert. Da der Geschwindigkeitsvektor nicht direkt gemessen werden kann, muss er durch numerische Differentation aus den gps Positionen gewonnen werden. Zu diesem Zweck werden verschiedene Differentationalgorithmen studiert und der geeignetste ausgewählt. Um die numerische Differentation zu umgehen, wird alternativ ein Referenzfeld eingeführt und bezüglich dieses Feldes die Relativgeschwindigkeiten bestimmt, um daraus schliesslich das Residualfeld zu berechnen. Im Vergleich zur numerischen Differentation erzielt diese indirekte Methode genauere Ergebnisse. Die gemessenen Abstandsänderungen sind genauer als die gps Messungen. Zum Angleich der weniger genauen gps Beobachtungen an die genaueren sst Beobachtungen werden Bedingungsgleichungen abgeleitet. Es zeigt sich allerdings, dass damit nur die cross-track und die radiale Komponente des Geschwindigkeitsvektors verbessert werden. Schließlich werden alle vorher abgeleiteten Zwischenergebnisse zur Bestimmung des Residualfeldes zusammengeführt. Es werden zwei verschiedene iterative Verfahren zur Bestimmung des Residualfeldes aus nicht-invarianten grace Beobachtungen benutzt. Zusammenfassend kann gesagt werden, daß in der Dissertation Schweregradieometrie mithilfe eines Satellitenpaares für die Bestimmung des Residualfeldes im space-wise approach erfolgreich eingesetzt wurde.