Untersuchungen zur gravimetrischen Inversion mittels genetischer Algorithmen

Abstract

Die gravimetrische Inversion ist ein zentrales Problem in der Geophysik. Wiewohl die entsprechenden Forschungstätigkeiten auf eine lange Geschichte zurückblicken, sind mit innovativen Techniken selbst heutzutage neue Lösungsansätze zu finden.

Das Grundprinzip der gravimetrischen Inversion ist, aus einer Schwereanomalie den Körper oder die Struktur zu extrahieren, welche für die Anomalie verantwortlich ist. Es existiert eine Vielzahl von Berechnungsmethoden, die es erlauben für (fast) jeden belieben Körper dessen Gravitationskraft zu berechnen. Diese Formeln werden, an entsprechender Stelle, für die in dieser Arbeit verwendeten Körper dargelegt. Durch Programme, die teilweise im Rahmen der Arbeit entstanden, kann der Anwender idealisierte Signale erzeugen und diese gemessenen Werten gegenüberstellen. Eine Möglichkeit beide Messwerte zu vergleichen stellt die Berechnung des rms Wertes dar. Dieser errechnet sich über die Summe der quadratischen Differenzen beider Signale, die durch die Anzahl der Messwerte geteilt und aus der anschließend die Wurzel gezogen wird. Ein kleiner rms Wert indiziert eine hohe Übereinstimmung zwischen simuliertem und gemessenem Signal.

Das Hauptproblem dabei ist, dass verschiedene Körper dasselbe Signal erzeugen können. Somit gibt es unendlich viele Körper, welche der Schwereanomalie zugewiesen werden können. Es ist nun das Ziel, im Rahmen der Möglichkeiten genau den Körper zu finden, der am "wahrscheinlichsten" ist. Durch geologische Untersuchungen und daraus resultierenden Randbedingungen können die Möglichkeiten deutlich eingeschränkt werden; die Anzahl der verbleibenden Körper ist jedoch zu groß für gesicherte Aussagen. Ein Verfahren ist zu finden, das in der Lage ist durch "probieren" ein gewähltes Modell immer weiter zu verbessern und sich dem "wahren" Körper immer weiter anzunähern.

Informatiker begannen Anfang der 1950er Jahre die sogenannten evolutionären Strategien zu entwickeln. Den Verfahren liegt ein biologischer Evolutionsprozess zugrunde, welche mit Hilfe von mathematischen Operationen umgesetzt ist. Aus diesem Spektrum ist für die Arbeit der Genetische Algorithmus GA gewählt worden, bei dem es sich um einen globalen Optimierer handelt. Besonders wichtig in diesem Zusammenhang ist die Tatsache, dass dieser Optimierer keinerlei Ableitungen der verwendeten Optimierungsfunktion benötigt. Somit ist der GA geeignet, für nicht lineare Probleme, wie im Fall der gravimetrischen Inversion.

Eine Einführung in dessen Funktionsweise sowie die Adaption an die Problematik ist Bestandteil dieser Arbeit. Dabei wird vor allem auf die Anwendung des sogenannten hybriden GA eingegangen. Bei diesem gemischten Ansatz wird zuerst der GA durchlaufen und die resultierenden Parameter in einem zweiten Schritt mit einem lokalen Optimierungsverfahren, der Downhill Simplex Methode (DSM), weiter verarbeitet. Unter bestimmten Voraussetzungen, die in der Arbeit betrachtet werden, ist es möglich unter Verwendung dieses Ansatzes die Körperparameter weiter zu optimieren und den rms Wert zu senken.

Für Untersuchungen wurden Simulationen zu Inversion mit fehlerfreien als auch fehlerbehafteten Signalen synthetischer Körper betrachtet. Für beide Versionen und unter Verwendung verschiedener Körper bietet der hybriden GA das größte Potenzial gute Ergebnisse, d. h. den geringsten rms Wert, zu liefern.

Gravimetric inversion is a central problem in geophysics. Although research in this field has a long history of innovative techniques new solutions can be found even today.

The basic principle of gravimetric inversion is extracting from a gravity anomaly the body or structure which is responsible for the anomaly. There is a great variety of methods for calculating the gravitational force of almost any body. The formulas used for this thesis are described at the appropriate places. With programs that have partly been created in the course of the work, the user can generate idealized signals and compare them with measured values. One way of comparing both values is the calculation of the rms value. This is calculated by adding the squared differences of the two signals, divided by the number of measurements and then the root is extracted. A small rms value indicates a high correlation between simulated and measured signals.

The main problem is that different bodies can produce the same signal. Thus, there is an infinite number of bodies to which the gravity anomaly may be ascribed. It is now the target, to find that body that is the most likely. With geological investigations and the resulting boundary conditions, the options are clearly limited, but the number of remaining bodies is still too large for safe conclusions. A method has to be found that is able to improve the selected model by "trying" again and again, and thus approach the "real" body more and more.

In the early 1950s computer scientists began to develop so-called evolutionary strategies. This method is based on a biological process of evolution, which is implemented by means of mathematical operations. From this spectrum the Genetic Algorithm (GA) has been chosen for the thesis, which is a global optimizer. Particularly important in this context is the fact that this optimizer does not require any derivatives of the optimization function used. Thus, the GA is suitable for nonlinear problems, as in the case of gravimetric inversion.

An introduction to its functioning and the adaptation to the problem is part of this thesis. It will primarily cover the application of the so-called hybrid GA. In this mixed approach, the GA is applied first, and then, in a second step, the resulting parameters are further processed with a local optimization method, the downhill simplex method (DSM). Under certain conditions, which are considered in the thesis, it is possible to optimize the body parameters and reduce the rms value by using this approach.

For research purposes simulations of inversion with error-free as well as faulty signals of synthetic bodies were considered. For both versions, and the use of various body features the hybrid GA offers the greatest potential for good results, which means delivering the lowest rms value.