Nichtlineare Optimierung regionaler Gravitationsfeldmodelle aus SST-Daten

Abstract

Die Bestimmung des Schwerefeldes der Erde ist noch immer eine große Herausforderung in der Geodäsie. Die globalen Modelle basieren insbesondere auf der Beobachtung von Satelliten. In der üblichen Analyse durch Kugelflächenfunktionen werden oft nicht alle Informationen erfasst, da die dafür notwendige gleichmäßige Verteilung der Daten nicht realisierbar ist. Um die vernachlässigten lokalen Details zu erfassen, kann man eine Verbesserung der Lösung durch lokale Basisfunktionen bestimmen. In der Analyse spaltet man das Signal und das Modell in einen globalen und einen residualen Anteil auf. Die Modellierung des globalen Feldes erfolgt dabei durch Kugelflächenfunktionen mit bekannten sphärisch-harmonischen Koeffizienten, während das verbleibende Signal in dieser Arbeit durch optimierte radiale Basisfunktionen approximiert wird. Radiale Basisfunktionen werden in vielen Disziplinen zur Modellierung von Daten mit unregelmäßiger Verteilung verwendet, wobei die Lösung durch die Wahl der Zentren, die Skalierungsfaktoren und die Form der Basisfunktionen beeinflusst wird. Auf der Kugel lässt sich jede (sphärische) radiale Basisfunktion durch eine Reihenentwicklung nach den Legendrepolynomen darstellen. Die Form wird durch die Zahlenfolge der Legendre-Koeffizienten modelliert, die häufig auf einen skalaren Formparameter zurückgeführt werden.

Als (Pseudo-)Beobachtungen werden die Potentialwerte entlang des Orbits, die Line-of-Sight Gradienten und die Range-Rate behandelt, wobei die letzten beiden Signale vor allem auf die geodätische GRACE-Mission abzielen. Das Potential im Orbit wird durch das Energieintegral für einen einzelnen Satelliten berechnet, während die Line-of-Sight Gradiometrie aus den Abstandsmessungen der GRACE-Mission die zweite Ableitung des gravitativen Potentials in Flugrichtung approximiert. Beide Beobachtungen können als in-situ Messungen aufgefasst werden, deren Signale nur von den Positionen im Schwerefeld, nicht aber von den früheren Potentialwerten beeinflusst werden. Das residuale Signal wird jeweils durch eine Summe aus radialen Basisfunktionen modelliert, deren Reihenentwicklung nach den Legendrepolynomen im Weiteren als Legendre-Darstellung bezeichnet wird. In dieser Arbeit wird die sogenannte Wigner-Darstellung (der Basisfunktionen) für Kreisbahnen entwickelt, die auf einer Parametrisierung des Potentials durch die Keplerelemente und die Verwendung der Wigner-d-Funktionen basiert. Diese Variante vereinfacht die partiellen Ableitungen nach den Keplerelementen und den Basisparametern sowie deren Implementierung. Für die nichtlineare Optimierung werden beide Darstellungen des Potentials und der Line-of-Sight Gradienten nach den Parametern der Basisfunktionen differenziert. Mit der Range-Rate wird auch die eigentliche Messung der GRACE-Mission durch eine Überlagerung des Referenzfeldes und einen residualen Anteil aus radialen Basisfunktionen modelliert. Durch die Orbitintegration enthält diese Beobachtung Informationen über frühere Zustände des Schwerefeldes in der Form von Positionen und Geschwindigkeiten der Satelliten und kann daher nicht mehr als in-situ Messung betrachtet werden. Die Ableitungen der Range-Rate nach den gesuchten Parametern werden üblicherweise durch die Lösung der Variationsgleichungen bestimmt. Durch die Approximationen der Hill-Theorie und die Wigner-Darstellung erhält man eine geschlossene Formel, die direkt nach den Parametern der Basisfunktionen differenziert werden kann.

In der (residualen) Analyse von Satellitenbeobachtungen werden die Zentren und Formparameter der radialen Basisfunktionen häufig fixiert, was die Aufgabe auf die Bestimmung der linearen Skalierungsfaktoren reduziert. Um viele lokale Details zu erfassen, ist eventuell eine große Anzahl an Basisfunktionen notwendig. Dies kann zu einer Überparametrisierung und damit zu nummerischen Problemen in der Lösung führen. In dieser Arbeit wird eine Alternative entwickelt, die die Signale durch eine minimale Anzahl an Basisfunktionen modelliert. Für eine bessere Approximation des Signals werden neben der Skalierung auch die Zentren und die Formparameter in einer nichtlinearen Optimierung aus den Daten geschätzt. Für die Analyse werden globale und lokale Optimierungsverfahren diskutiert und jeweils exemplarisch ein Ansatz implementiert. Da die Lösungen in den (globalen) genetischen Algorithmen nicht reproduzierbar sind, wird ein lokales Verfahren bevorzugt. Der Ansatz bestimmt geeignete Startwerte der Basisparameter aus den Daten und optimiert diese Werte iterativ durch ein Trust-Region-Verfahren. Die Methode erlaubt eine Einschränkung der Parameter auf ein vorgegebenes Intervall und führt in der Regel zu einer Konvergenz in der Nähe der Startwerte.

Die Optimierung wird an den Daten einer simulierten GRACE-Mission getestet. Die Range-Rate erweist sich für den entwickelten Algorithmus als nicht geeignet für die nichtlineare Optimierung der Basisparameter aus einem komplexeren Schwerefeld. In einem vereinfachten Modell lassen sich bei geeigneten Startwerten vor allem die Positionen der Zentren aus der Range-Rate verbessern. Dagegen ist die Analyse der behandelten in-situ Beobachtungen durch radiale Basisfunktionen erfolgreich und approximiert das Signal im Orbit in einer hohen Qualität. Bereits mit relativ wenigen Basisfunktionen erreicht man eine Korrelation zwischen dem Signal und der Approximation im Orbit von 90-100 %, wobei die statistischen Größen der Differenz mindestens um eine Größenordnung reduziert werden.

The determination of the Earth's gravity field is still a big challenge in geodesy. Global models are especially based on satellite observations. The complete information cannot be recovered in the analysis by spherical harmonics due the inhomogeneous data distribution. An improvement can be achieved by modeling these hidden details by localizing basis functions. In the analysis, the signal and the model are separated into a global and a residual part. In this study, the global field is modeled by spherical harmonics and a set of known spherical harmonic coefficients, while the remaining signal is approximated by optimized radial basis functions. Radial basis functions are used in many disciplines to model data with an inhomogeneous distribution, where the approximation depends significantly on the chosen centers, the scaling factors and the shape of the basis functions. On the sphere, each (spherical) radial basis function is realized by a series of Legendre polynomials. The shape is modeled by a sequence of Legendre coefficients, which are often traced back to a scalar shape parameter.

The potential along the orbit, the line-of-sight gradient and the range-rate are used as (pseudo-)observations, where the last two types of signals are applicable to the GRACE-Mission. The potential along the orbit is determined by the energy balance approach for a single satellite, while the line-of-sight gradiometry approximates the second derivative of the gravity potential in the flight direction from the ranging observations of GRACE. Both observations can be seen as in-situ measurements, where the signals depend only on the positions in the gravity field, but not on the earlier potential values. The residual signals are modeled by superposition of radial basis functions, where the series of Legendre polynomials is denoted as Legendre-representation. In this study, the so called Wigner-representation (of the radial basis functions) is developed for circular orbits, which is based on the parameterisation by Keplerian elements and the use of the Wigner-d-functions. The new representation simplifies the differentiation w.r.t. the orbit elements and the parameters of the basis functions, but also their implementation. The nonlinear optimization is prepared by differentiating both representations of the potential and the line-of-sight gradient with respect to the basis parameters. The range-rate of the GRACE mission is also analyzed by a superposition of the reference field and a residual part of the radial basis functions. Due to the orbit integration, the observations contain information about the prior status of the gravity field in form of positions and velocities of the satellites, which inhibits the treatment as an in-situ measurement. Usually the partial derivates of the range-rate are generated by the numerical solution of the variational equations. By using the approximations of the Hill theory and the Wigner-representation a closed formula is developed, which can be differentiated w.r.t. the parameters of the radial basis functions.

The centers and the shape of the radial basis functions are usually fixed in the analysis of (residual) satellite observations, to reduce the estimation to a linear problem of the scale factors. In this case, many basis functions might be necessary to determine the local details, which leads to overparameterization and numerical problems in the solution. In this study, a concept is developed for modeling the signals by a minimal number of basis functions. In addition to the scales factors, the shape and the center of each basis function are determined from the data by a nonlinear optimization to achieve a better approximation of the signal. Global and local optimization methods are discussed and an example of each is implemented. The solutions of the (global) genetic algorithm are not reproducible, so that a local method is preferred. The method determines initial parameters from the signal and improves them iteratively by a trust region algorithm. The algorithm permits a restriction of the parameters to a chosen interval and leads usually to a convergence near the initial values.

The optimization is tested in a simulated GRACE-mission. The range-rate turns out to be unsuitable for the estimation of the parameters in a more complex gravity field by the developed algorithm. In a simplified model and for adequate initial values, it is possible to improve the positions of the basis functions from the range-rate. The analysis of the presented in-situ measurements approximates the signal in the orbit very well. A small number of optimized radial basis functions is already sufficient to achieve a correlation of 90 - 100 % between the signal and the approximation in the orbit, while the statistical values of the differences are reduced by at least one order of magnitude.