Mesh curving techniques for high order parallel simulations on unstructured meshes

Abstract

In this work, the generation of high order curved three-dimensional hybrid meshes and its application are presented. Meshes with linear edges are the standard of today's state-of-the-art meshing software. Industrial applications typically imply geometrically complex domains, mostly described by curved domain boundaries. To apply high order methods in this context, the geometry - in contrast to classical low order methods - has to be represented with a high order approximation, too. Therefore, a high order element mapping has to be used for the discretization of curved domain boundaries. The main idea here is to rely on existing linear mesh generators and provide additional information to produce high order curved elements.

A very promising candidate for future numerical solvers in computational fluid dynamics is the family of high order discontinuous Galerkin (DG) schemes. They are locally conservative schemes, with a continuous polynomial representation within each element and allow a discontinuous solution across element faces. Elements couple only to direct face neighbors, and the discontinuity is resolved via numerical flux functions. As the main focus of this work are curved elements, the different formulations and possible implementations of the DG scheme with non-linear element mappings are discussed in detail. Especially, a highly efficient variant of the DG scheme for hexahedra, namely the discontinuous Galerkin spectral element method (DG-SEM), is presented.

The main focus of this thesis is the generation of high order meshes. Several techniques to generate curved elements are described and their applicability to complex geometries is demonstrated. Starting from a linear mesh, the first step curves the element faces representing the curved geometry. Two approaches are presented, the first based on continuity conditions using surface normal vectors and the second based on interpolation of additionally generated surface points. The high order mapping of the volumetric element is computed as a blending of the curved element faces.

In the case of boundary layer meshes, the blending may lead to inverted elements. As a remedy to this problem, an additional mesh deformation approach is proposed and validated. Independent thereof, another approach is presented, allowing one to directly generate curved volume mappings from the agglomeration of block-structured meshes.

One of the reasons making high order DG schemes attractive for the simulation of fluid dynamics is their parallel efficiency. As future applications in fluid dynamics comprise the resolution of three-dimensional unsteady effects and are increasingly complex, the simulations require more and more computing resources, and weak and strong scalability of the numerical method becomes extremely important. In the last part of this thesis, the parallelization concept of the DG-SEM code Flexi is described in detail. A new domain decomposition strategy based on space filling curves is introduced, and is shown to be simple and flexible. A thorough parallel performance analysis confirms that the overall implementation scales perfectly. Ideal speed-up is maintained for high polynomial degrees, up to the limit of one element per core. As the DG scheme only communicates with direct neighbors, the same parallel efficiency is found on both cartesian meshes as well as fully unstructured meshes. The findings underline that the proposed Discontinuous Galerkin scheme exhibit a great potential for highly resolved simulations on current and future large scale parallel computer systems.

Diese Arbeit befasst sich mit der Erstellung von dreidimensionalen hybriden Gittern hoher Ordnung und deren Verwendung. Die Standardelemente heutiger Vernetzungssoftware besitzen fast ausschließlich lineare Elementkanten. Bei industriellen Anwendung sind die zu vernetzenden Geometrien sehr komplex und weisen meist gekrümmte Gebietsgrenzen vor. Bei der Verwendung von Verfahren hoher Ordnung ist es im Unterschied zu klassischen Verfahren niedriger Ordnung notwendig, die Geometrie ebenfalls mit hoher Ordnung darzustellen. Die Diskretisierung der gekrümmten Randflächen erfolgt also durch eine höherwertige Abbildung der Elemente. Es wird die Grundidee verfolgt, dass vorhandene lineare Vernetzungssoftware weiterhin genutzt werden kann und Elemente hoher Ordnung mithilfe zusätzlich bereitgestellter Informationen generiert werden sollen.

Innerhalb der Verfahren hoher Ordnung ist das discontinuous Galerkin (DG) Verfahren ein vielversprechender Kandidat für zukünftige Strömungslöser. Es handelt sich um ein lokal konservatives Verfahren. Die Lösung wird innerhalb des Elements als stetiges Polynom dargestellt und ist über die Elementgrenzen hinweg unstetig. Die Elemente koppeln nur mit direkten Nachbarelementen und aufgrund der Unstetigkeit an der Elementgrenze werden hierfür numerische Flüsse verwendet.

Da ein Hauptaugenmerk dieser Arbeit auf der Behandlung von gekrümmten Elementen liegt, werden die unterschiedlichen Formulierungen und mögliche Implementierungen des DG Verfahrens auf Elementen mit nicht-linearen Abbildungen im Detail diskutiert. Insbesondere wird die Discontinuous Galerkin Spektrale Element Methode (DG-SEM) vorgestellt, eine besonders effiziente Implementierung für Hexaederelemente.

Der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt auf der Generierung von Gittern hoher Ordnung. Es werden unterschiedliche Techniken zur Erstellung von Elementen hoher Ordnung beschrieben und deren Anwendbarkeit auf komplexe Geometrien demonstriert. Ausgehend von einem linearen Netz erfolgt in einem ersten Schritt die Krümmung der Elementflächen, die an der gekrümmten Randbedingung anliegen.

Hierbei wird zwischen zwei Ansätzen unterschieden, der erste basierend auf Normalenvektoren an den Oberflächenpunkten, der zweite auf Interpolation von zusätzlich generierten Oberflächenpunkten. Die volumetrische Abbildung des Elements wird dann durch eine Linearkombination der gekrümmten Elementflächen gebildet.

Im Fall von Grenzschichtnetzen kann die Linearkombination zu ungültigen Elementabbildungen führen. Ein gültiges Gitter kann durch eine zusätzliche Gitterverformung generiert werden. Die gesamte Vorgehensweise wird anhand einem Grenzschichtnetz von einem Flügelprofil erläutert und validiert. Hiervon unabhängig wird ein weiterer Ansatz beschrieben, bei dem man die Volumenabbildung direkt durch Agglomeration block-strukturierter Gitter erhält.

Einer der Gründe für die Attraktivität von DG Verfahren zur Simulation von Strömungen ist deren parallele Effizienz. Da zukünftige Anwendungen in der Strömungsmechanik die Auflösung von instationären dreidimensionalen Effekten umfassen und eine wachsende Komplexität aufweisen, ergibt sich ein steigender Bedarf an Rechenressourcen, und die schwache und starke Skalierbarkeit des numerischen Verfahrens spielt eine entscheidende Rolle.

Daher wird im letzten Teil dieser Arbeit das Parallelisierungskonzept des G-SEM Lösers Flexi vorgestellt. Es wird eine neue Strategie zur Gebietszerlegung erläutert, die auf raum-füllenden Kurven basiert und daher besonders einfach und flexibel ist. Eine ausführliche Analyse der parallelen Performance bestätigt, dass die gesamte Implementierung perfekt skaliert und einen idealen Speed-up bis auf ein Element pro Kern für hohe Polynomgrade aufweist. Da das DG Verfahren nur mit den direkten Nachbarelementen kommunizieren muss, konnte gezeigt werden, dass die parallele Performance unabhängig davon ist, ob ein kartesisches oder voll unstrukturiertes Gitter verwendet wird. Die Ergebnisse zeigen, dass das hier vorgestellte Discontinuous Galerkin Verfahren ein großes Potential für hochaufgelöste Simulationen auf heutigen und zukünftigen Supercomputern aufweist.