Lösungspfadbasierte Analysen im Entwurf komplexer Systeme

Abstract

Durch den Einsatz graphenbasierter Entwurfssprachen im Entwurf komplexer Systeme entstehen zunehmend größere und komplexere funktionale Modellbeschreibungen in Form nicht-linearer algebraischer Gleichungssysteme. Diese machen es dem Entwerfer immer schwieriger, die wesentlichen Einflussgrößen eines Modells, sogenannte Design Driver, zu erkennen und die Auswirkungen einzelner Parameter samt deren Kopplungen über das gesamte System hinweg richtig einzuschätzen. Die manuelle Analyse der Gleichungssysteme mit wenigen Variablen durch mathematische Methoden der Sensitivitätsanalyse kann helfen, die Auswirkungen einzelner Parameter auf einzelne Größen detailliert zu erfassen. In großen Systemen ist die manuelle Analyse für die Bestimmung der wesentlichen Größen eines Gesamtsystementwurfs mit mehreren hundert oder tausend Gleichungen, oder von Parametern, die einen gleich- oder gegensinnigen Einfluss haben, nicht mehr praktikabel. Die große Anzahl an Gleichungen zusammen mit den Kopplungen der Größen untereinander macht es dem Entwerfer schwer bis nahezu unmöglich, manuell interessante Parameter für eine Sensitivitätsanalyse zu identifizieren und ein vertieftes Verständnis für das Gesamtsystem aufzubauen. Durch eine maschinelle Umsetzung der Sensitivitätsanalyse, die auf der lösungspfadbasierten Synthese und der nachfolgenden mathematischen Lösung der Gleichungssysteme aufsetzt, ist es möglich, auf derartige Fragestellungen einzugehen und so das Verständnis des Systems zu verbessern. Dazu wird die Jacobi-Matrix des Systems symbolisch bestimmt und auf dimensionslose Werte normiert. Die Einträge der dimensionslosen Ableitungsmatrix werden dann mittels einer Farbskala als sogenannte HeatMap visualisiert. Die zahlenartigen Einträge der Matrix werden hierfür als farbige Flächen dargestellt. Dadurch entsteht ein farbiges Schachbrettmuster, dessen Farbflächen den numerischen Werten entsprechen. Durch verschiedene Anordnungen der HeatMap können unterschiedliche Aspekte des Entwurfs hervorgehoben werden. So lassen sich etwa durch eine Anordnung nach der Anzahl der Nicht-Null-Elemente Kandidaten ausmachen, welche die wesentlichen Größen des Entwurfs darstellen. Durch eine Anordnung auf Grundlage einer Clusteranalyse lassen sich Parameter mit gleich- und gegensinnigem Einfluss (sogenannte Protagonisten und Antagonisten) ausmachen und durch die Anordnung nach Subsystemen werden die Kopplungen der Subsysteme untereinander erkennbar. Anhand von mehreren Beispielen wird aufgezeigt, wie aufbauend auf der lösungspfadbasierten Synthese weitere Analysen durchgeführt werden können. Dabei werden zunächst - ausgehend von einem analytisch noch überschaubaren System für die Auslegung einer Gasturbine - immer größer und komplexer werdende Modelle symbolisch analysiert. Auf das Modell der Gasturbine mit zunächst nur 19 Gleichungen folgt ein Modell für die Auslegung einer luftschiffbasierten Höhenplattform mit 108 Gleichungen. Als drittes Beispiel dient die Auslegung eines Satelliten mit 502 algebraischen Gleichungen, die sich aus einem Destillat von mehreren tausend Gleichungen ergeben. Interessanterweise finden sich unter den maschinell ermittelten Kandidaten für Design Driver zahlreiche Größen, deren Bedeutung sich dem erfahrenen (System-) Architekten sofort erschließt. Hierunter fallen z.B. die Bilanzgrößen für Masse, Energie oder Kosten, die naturgemäß mit einer Vielzahl an Systemgrößen zusammenhängen. Zusätzlich zeigen die gefundenen gleich- und gegensinnigen Größen dem Ingenieur Möglichkeiten auf, wie er den Einfluss einzelner Größen kompensieren kann. Die Anzahl der Nicht-Null Einträge einer Zeile bzw. Spalte der Jacobi-Matrix hilft ihm zu erkennen, ob die Systeme stark oder schwach miteinander gekoppelt sind. Bei schwach gekoppelten Systemen hat er bei Änderungen mit relativ geringen Auswirkungen zu rechnen. Stark gekoppelte Systeme dagegen zeigen ihm, welche Größen und wie stark diese den gesamten Entwurf koppeln.

When applying a graph-based design language in a complex system design environment, a greater amount of highly complex functional model descriptions is generated on the basis of non linear algebraic equation systems. Hence the designer has more difficulty to identify the essential design parameters (i.e. the so-called design drivers of the model) and the ability to predict the influence of single parameters as well as their coupling throughout the overall system correctly. The manual analysis of equation systems with a few variables on the basis of mathematical sensitivity analysis can be helpful in identifying the impact of single parameters upon single design variables in detail. For identifying the essential variables of the overall design in an equation system of a few hundred or a few thousand equations or in the identification of parameters with similar or contrary influence, the manual analysis in a complex system environment is not practical any more. The vast amount of equations combined with couplings of the variables makes it difficult or even impossible for the designer to identify interesting parameters for sensitivity analysis and the ability to develop a profound understanding of the overall system as well as the recognition of interrelations. The application of automated sensitivity synthesis based on solution path based analysis and a following mathematical solution of the equation system, makes it possible to address such questions, and in doing so, increases the understanding of the system. In order to achieve this, the Jacobian is determined symbolically and normalised to dimensionless values. The entries of the dimensionless derivation matrix are visualised using a colour scale a so called heat map. The numerical values are not presented as numbers but as coloured areas. This creates a coloured chess pattern where the coloured areas represent the numerical values. By organising the heat maps in different ways, corresponding aspects of the design can be highlighted. Arranging the heat map in numerical order of the amount of non zero elements for example allows the selection of candidates for essential design parameters. By arranging the heat map on the basis of cluster analysis, parameters with similar or opposite influence (so called protagonists and antagonists) can be detected.Thus arranging them into subsystems, the couplings of the subsystems become transparent. Several examples are used to show how existing solution path based analysis can be extended by further analysis. In order to achieve this, models increasing in size and complexity are analysed symbolically, starting with a system that is still analytically manageable for the conceptual design of a gas turbine. The model of a gas turbine with only 19 equations is followed by a model for the conceptual design of an airship-based high altitude platform with 108equations. The third example is the conceptual design of a satellite consisting of 502 algebraic equations that are extracted from a system of several thousand equations. In the case of design driver candidates it is interesting to note how many design parameters immediately become transparent to the experienced(systems-) architect or designer. This includes balancing variables for mass,energy or cost budgets that are coupled to many system variables because of the nature of balancing equations. In addition to this, the similar and opposed variables present opportunities to the engineer to compensate the influence of single variables. The number of non zero elements in a row or column of the Jacobian helps the designer to see if the systems are strongly or loosely coupled. When the systems are loosely coupled, the impact of changes to the overall system is respectively minor. Strongly coupled systems show the designer, which variables and how strong these are coupled to the overall system.