High order discontinuous Galerkin methods for the simulation of multiscale problems

Abstract

This work provides a contribution to the accurate, stable and efficient numerical simulation of hydrodynamic non-linear multiscale problems with high order discretizations. Due to their wide range of spatial and temporal scale, these types of problems demand not only highly accurate and efficient numerical discretization schemes, but also careful code design with regards to supercomputing architectures. Still, as a rule, even for the most sophisticated algorithms and hardware, a full resolution of all occurring scales remains infeasible. Thus, an approximate solution with drastically reduced number of degrees of freedom is sought, which retains the most important characteristics of the full solution. This solution is obtained by solving a truncated multiscale problem, supplemented by a suitable modeling strategy for the omitted scales and their interaction with the truncated solution. This approach is only meaningful if the resolvable scales determine the mean solution features accurately, and if the non-resolved scales show some form of universality behavior, which allows the derivation of meaningful models. Hydrodynamic turbulence is one example of these types of problems. In this work, two frameworks for the numerical solution of the compressible Navier-Stokes equations are presented: A self-developed Fourier pseudo-spectral solver, and a co-developed framework based on the Discontinuous Galerkin Spectral Element Method (DGSEM). Both discretization schemes are highly efficient for the resolution of multiscale problems as they – due to their spectral character – exhibit very low approximation errors over a wide range of scales, and thus return a very high resolution capability per invested degree of freedom. Since DGSEM is based on the variational form of the governing equations, it allows an element-based discretization of the computational domain, which in turn leads to superior parallelization and the possibility for flexible, unstructured meshes. These features make it attractive for the full resolution of turbulence in a Direct Numerical Simulation (DNS) approach and – as demonstrated in this work – highly competitive when compared to other discretization strategies. These favorable discretization properties carry over into the under-resolved situation (Large Eddy Simulation, LES), where a lower-dimensional version of the problem is solved numerically. However, depending on the discretization of the scale-producing mechanism, its truncation can introduce a self-feeding error into the solution, that can lead to a global instability. The source and effects of these aliasing errors are investigate in this work. Strategies for countering or avoiding it are presented, and the code framework is extended accordingly. These strategies are compared and evaluated, showing that only the exact quadrature of the non-linear terms recovers the favorable approximation properties and thus the efficiency of the spectral approach. With this discretization strategy, it is shown that high order DGSEM can outperform established, lower-order LES formulations in terms of accuracy per invested degree of freedom for challenging test cases at moderate Reynolds number turbulence. Extension to higher Reynolds numbers necessitates the introduction of some form of closure for the un-resolved scales, due to the increase in the truncation error. Aspects of two modeling approaches are discussed: An implicit modeling strategy for DGSEM can be based on the modification of the dissipation introduced by the inter-cell fluxes. The addition of an explicit modeling term which provides a subgrid dissipation mechanism raises the question whether de-aliasing remains essential in that situation. The de-aliasing strategy is revisited, and its interactions with an explicit closure model are examined. It is shown that only through a proper de-aliasing mechanism, the superior scale-resolving capabilities of the scheme can be recovered, and that a decoupling of explicit model and numerics is imperative. Through these investigations, a consistent strategy for stable and accurate DNS and LES of turbulent flows with high order DGSEM has been established. As an outlook, further research strategies into LES modeling should take full advantage of the spectral character of DGSEM, and the associated scale range resolved within each element can be exploited in both an implicit as well as explicit closure approach.

Diese Arbeit stellt einen Beitrag zur effizienten, stabilen und genauen numerischen Simulation von hydrodynamischen nicht-linearen Multiskalenproblemen mit räumlichen Diskretisierungsverfahren hoher Ordnung dar. Aufgrund der großen Bandbreite an räumlichen und zeitlichen Skalen erfordern diese Art von Problemen nicht nur hochgenaue und effiziente numerische Verfahren, sondern auch deren angepasste Umsetzung auf Höchstleistungsrechnern. Trotz der Weiterentwicklungen auf dem Gebiet der Hardware und Algorithmen bleibt eine vollständige Auflösung aller Skalen typischerweise unerreichbar. Daher muss eine approximative Lösung mit deutlich verringerter Zahl an Unbekannten gesucht werden, die aber in den wesentlichen Größen mit der Lösung des Ursprungsproblems übereinstimmt. Diese Lösung lässt sich aus der Formulierung eines reduzierten Multiskalenproblems berechnen, ergänzt durch einen Modellierungsansatz für die nicht-aufgelösten Skalen und deren Rückwirkung auf die nieder-dimensionale Lösung. Dieser Ansatz ist nur dann zielführend, wenn die Grobstruktur der Lösung sich durch die reduzierten Unbekannten gut approximieren lässt und wenn der nicht-aufgelöste Teil der Skalen universelles Verhalten zeigt, dass sich generell modellieren lässt. Turbulente Fluidströmungen erfüllen typischerweise diese Voraussetzungen und sind somit ein Beispiel für diese Art von Multiskalenproblemen. In dieser Arbeit werden zwei Verfahren für die Lösung der kompressiblen Navier-Stokes Gleichungen vorgestellt: Ein eigenentwickelter Fourier Pseudo-Spektral-Löser, und ein mitentwickelter Simulationscode basierend auf der Discontinuous Galerkin Spectral Element Method (DGSEM). Beide Diskretisierungsverfahren sind aufgrund ihres spektralen Charakters sehr gut zur Lösung von Multiskalenproblemen geeignet, da sie sehr geringe Approximationsfehler über einen weiten Skalenbereich aufweisen und somit einen hohe Lösungsqualität pro investiertem Freiheitsgrad besitzen. Da DGSEM auf der Variationsformulierung der Evolutionsgleichungen beruht, lässt sich das Rechengebiet element-basiert diskretisieren, was wiederum zur sehr guten Parallelisierbarkeit von DGSEM beiträgt und die Generierung von flexiblen, unstrukturierten Rechengittern erlaubt. Aufgrund dieser Eigenschaften eignet sich daher dieses Verfahren sehr gut für die Direkte Numerische Simulation (DNS) von Turbulenz und macht es – wie in dieser Arbeit gezeigt – im Vergleich zu anderen Diskretisierungsverfahren zumindest gleichwertig und oft überlegen. Die positiven Approximationseigenschaften von DGSEM lassen sich auch auf unteraufgelöste Probleme im Rahmen einer Large Eddy Simulation (LES) übertragen, bei denen eine reduzierte Problemformulierung gelöst wird. Je nach Diskretisierung der nicht-linearen Terme in den Erhaltungsgleichungen entsteht dabei jedoch ein selbstverstärkender Fehler, der zu einer Instabilität des Verfahrens führen kann. Die Ursachen und die Auswirkungen dieses sogenannten Aliasing-Fehlers werden in dieser Arbeit untersucht. Es werden Strategien zu seiner Vermeidung oder Kontrolle vorgestellt und in den Simulationscode implementiert. Ein Vergleich dieser Ansätze zeigt, dass nur durch exakte Integration der nicht-linearen Terme die ursprünglichen Verfahrenseigenschaften, die diese Diskretisierung für Multiskalenprobleme effizient machen, erhalten werden können. Mit Hilfe dieser Strategie kann gezeigt werden, dass DGSEM Verfahren hoher Ordnung im Vergleich zu anderen LES-Formulierungen basierend auf Verfahren niedriger Ordnung pro eingesetztem Freiheitsgrad eine höhere Genauigkeit für turbulente Strömungen bei mittleren Reynoldszahlen liefern. Die Erweiterung auf Probleme mit höheren Reynoldszahlen bringt die Notwendigkeit einer Modellierung des steigenden Abbruchsfehlers mit sich. Dazu werden zwei Strategien vorgestellt: Im Rahmen einer impliziten LES-Schließung lassen sich die numerischen Flußfunktionen an den Zellgrenzen anpassen, so dass ihre Dissipationsterme als Feinstrukturmodell dienen. Wird im Rahmen einer expliziten Schließung ein zusätzlicher dissipativer Modellterm in die Gleichungen implementiert, so stellt sich die Frage, ob der explizite De-Aliasing-Mechanismus weiter notwendig bleibt, oder ob diese Aufgabe vom Schließungsmodell mit übernommen werden kann. Zur Beantwortung dieser Frage werden die Untersuchungen zum De-Aliasing, kombiniert mit einem expliziten Feinstrukturmodell, wiederholt, und die Interaktion von Diskretisierung und Modell bewertet. Es zeigt sich, dass nur durch vollständiges polynomiales De-Aliasing eine Entkopplung von Modell und Numerik und damit eine hohe Lösungsqualität erreicht werden kann. Basierend auf den Ergebnissen dieser Arbeit konnte damit eine konsistente Strategie für die stabile und genaue Simulation von turbulenten Strömungen in voll-aufgelösten und unter-aufgelösten Situationen mit DGSEM Verfahren hoher Ordnung etabliert werden. In der Zukunft sollten basierend auf dem spektralen Charakter von DGSEM und dem damit verbundenen hohen Auflösungsvermögen pro Element implizite und explizite LES-Schließungen entwickelt werden.