From static to dynamic couplings in consensus and synchronization among identical and non-identical systems

Abstract

In a systems theoretic context, the terms 'consensus' and 'synchronization' both describe the property that all individual systems in a group behave asymptotically identical, i.e., output or state trajectories asymptotically converge to a common trajectory. The objective of the present thesis is an improved understanding of some of the diverse coupling mechanisms leading to consensus and synchronization. A starting point is the observation that classical consensus and synchronization results commonly deal with two distinct facets of the problem: Consensus has regularly a strong focus on the interconnections and related constraints while the individual systems possess simple dynamics. Synchronization, in contrast, typically addresses questions about complex individual dynamical systems and puts weak emphasis on communication constraints. Very few results exist that address both facets simultaneously. A thorough analysis of static couplings in consensus algorithms provides explanations for this observation by unveiling limitations inherent to this type of couplings. Novel dynamic coupling mechanisms are proposed to overcome these limitations. These methods essentially rely on an internal model principle for consensus and synchronization derived in the thesis. This principle provides necessary conditions for consensus and synchronization in groups of non-identical systems, and it establishes a link to the output regulation problem. The fresh point of view revealed by this link eventually leads to a new hierarchical mechanism for consensus and synchronization, where coupling dynamics compensate for heterogeneity in the dynamical models of the individual systems as well as communication constraints. Applications include synchronization of linear systems and phase synchronization of exponentially stable oscillators.

Sowohl Konsens als auch Synchronisation bezeichnen in der Systemtheorie die Eigenschaft, dass sich in einer Gruppe dynamischer Systeme alle Teilsysteme asymptotisch identisch verhalten, d.h. dass Ausgangs- oder Zustandstrajektorien asymptotisch zu einer gemeinsamen Trajektorie konvergieren. Das Ziel der vorliegenden Arbeit ist ein verbessertes Verständnis einiger der zahlreichen Mechanismen, die zu Konsens und Synchronisation führen. Ausgangspunkt ist die Beobachtung, dass klassische Konsens- und Synchronisationsergebnisse typischerweise zwei unterschiedliche Aspekte des Problems betrachten: Konsus beschäftigt sich in erster Linie mit der Kopplungsstruktur und Einschränkungen an diese während die Teilsysteme einfache Modelle aufweisen. Im Gegensatz dazu beschäftigt sich Synchronisation mit komplexen Teilsystemen und legt nur geringes Augenmerk auf die Kopplungsstrukur. Nur sehr wenige Ergebnisse berücksichtigen gleichzeitig die beide genannten Aspekte. Eine tiefgreifende Analyse statischer Kopplungsmechanismen in Konsensalgorithmen liefert eine Erklärung für diese Beobachtung, indem fundamentale Beschränkungen statischer Kopplungen aufgedeckt werden. Es werden neue dynamische Kopplungsmechanismen vorgeschlagen, welche im Wesentlichen auf einem Inneren-Modell-Prinzip für Konsens und Synchronisation beruhen, das in der Arbeit hergeleitet wird. Dieses Prinzip führt zu einer notwendigen Bedingung für Konsens und Synchronisation von nicht-identischen Systemen und stellt eine Verbindung zwischen Synchronisationproblemen einerseits und der asymptotischen Folgeregelung anderereseits her. Der neue Blickwinkel, der sich durch diese Verbindung ergibt, führt schließlich zu einem neuen hierarchischen Mechanismus für Konsens und Synchronisation, in welchem dynamische Kopplungen sowohl Unterschiede in den Modellen der Teilsysteme als auch Einschränkungen an die Kopplungsstruktur ausgleichen. Die neue Methode eignet sich unter anderem zur Synchronisation linearer Systeme und zur Phasensynchronisation exponentiell stabiler Oszillatoren.