Numerische Analyse von gemischten Ausfallverteilungen in der Zuverlässigkeitstechnik

Abstract

Der Nachweis von Zuverlässigkeitsanforderungen erfordert einen große Zeit- und Kostenaufwand. Dieser Nachweis kann durch Prüfstandsversuche oder durch die Auswertung von Felddaten geführt werden. Beide Möglichkeiten haben Vor- und Nachteile. Versuche bieten den Vorteil der genauen Kenntnis der Parameter auf Kosten meist kleiner Stichprobengrößen und synthetischer Versuchsbedingungen. Felddaten bieten den Vorteil der realen Belastung des Produkts und großer Stichprobenumfänge mit den Nachteilen der Unsicherheit bezüglich der genauen Kenntnis der Lebensdauer und der Belastung. Trotz der genannten Nachteile bietet die Analyse von Felddaten ein großes Potential. Felddatensätze bestehen meist aus einer Mischung verschiedener Produkttypen oder Ausfallmechanismen. Diese Mischungen können durch Mischverteilungen oder Ausfälle verschiedener Komponenten von Systemen auftreten. Zur Analyse dieser gemischten Verteilungen wurde in dieser Arbeit ein neues Verfahren vorgestellt. Für die Problemstellung der Analyse von Mischverteilungen und booleschen Systemen wurden die Einschränkungen der grafischen und analytischen Verfahren aufgezeigt. Im Weiteren wurden bekannte numerische Optimierungsmethoden und deren Arbeitsweise und Anwendung beschrieben. Diese numerischen Optimierungsmethoden sind auch dann einsetzbar, wenn die Verwendung analytischer Methoden nicht möglich ist. Aus den vorgestellten Optimierungsmethoden wurden die genetischen Algorithmen und die künstlichen neuronalen Netze ausgewählt. Diese wurden genauer auf ihre Anwendbarkeit auf die Problemstellung untersucht. Dazu wurden der Ablauf und die Anwendung der genetischen Algorithmen und der künstlichen neuronalen Netze als Optimierungsmethode beschrieben. Die beiden Methoden wurden anschließend bezüglich der vorliegenden Problemstellung, der Parameterschätzung von gemischten Verteilungen, gegenübergestellt. Aus der Diskussion der beiden Methoden konnten die genetischen Algorithmen aufgrund ihrer universelleren Anwendbarkeit als die geeignetere Variante ausgewählt werden. Im nächsten Schritt wurde ein genetischer Algorithmus zur Schätzung von gemischten Verteilungen implementiert. Die Analyse der verschiedenen Algorithmenparameter und deren Optimierung konnte anhand von beispielhaften repräsentativen Mischverteilungen durchgeführt werden. Hierbei lag das Hauptaugenmerk auf den zentralen Punkten der Kodierung der Individuen, der geeigneten Ziel- oder Fitnessfunktion und den optimalen Parametern des genetischen Algorithmus. Zur Untersuchung der Funktionsweise des Algorithmus und der zu erwartenden Ergebnisse wurden verschiedene repräsentative Datensätze erstellt. Anhand der vorgestellten Datensätze wurde untersucht, welche Ergebnisse bei einer begrenzten Populationsgröße und Generationenanzahl erwartet werden können. Dazu mussten die Datensätze möglichst viele Arten von Mischverteilungen und booleschen Systemen repräsentieren, um allgemeine Aussagen treffen zu können. Aufbauend auf den repräsentativen Datensätzen wurden Parameterschätzungen durchgeführt und deren Ergebnisse diskutiert. Bei Mischverteilungen ohne ausfallfreie Zeit wurden Ergebnisse erzielt, die im Bereich der Ergebnisse kommerzieller Software liegen. Mit zunehmender Anzahl an Unterverteilungen konnte die Ergebnisgüte der kommerziellen Software nicht mehr in allen Fällen erreicht werden. Bei der Schätzung von Mischverteilungen mit ausfallfreier Zeit und booleschen Systemen konnten gute bis sehr gute Ergebnisse erzielt werden. In einem weiteren Schritt wurde die Möglichkeit zur Schätzung der Unterverteilungsanzahl untersucht, wurden die Schwierigkeiten erläutert und verschiedene Verbesserungsmaßnahmen vorgeschlagen. Mit dem genetischen Algorithmus konnte eine Methode implementiert werden, mit der es möglich ist, die Verteilungsparameter aller Typen von gemischten Verteilungen zu schätzen. Die Güte der Ergebnisse reicht an die der analytischen Vergleichsmethode MLE/EM heran. Bei booleschen Systemen war bisher eine Parameterschätzung der Unterverteilungen überhaupt nicht möglich. Die universelle Anwendbarkeit der Methode auf alle Arten von gemischten Verteilungen gleicht den Nachteil der etwas geringeren Ergebnisgüte gegenüber den analytischen Methoden aus. In dieser Arbeit konnte die prinzipielle Eignung numerischer Methoden zur Parameterschätzung von gemischten Verteilungen gezeigt werden. Darauf aufbauend könnten weitere numerische Methoden auf ihre Anwendbarkeit auf diese Problemstellung hin untersucht werden. Der genetische Algorithmus zeigt für die vorgestellten Verteilungen gute bis sehr gute Ergebnisse. Ein Nachweis der Anwendbarkeit auf weitere Verteilungsarten wie beispielsweise die Lognormalverteilung steht noch aus. Zudem sind noch weitere Möglichkeiten zur Erweiterung des genetischen Algorithmus bekannt bis hin zu memetischen Algorithmen, die bisher nicht untersucht wurden.

The verification of reliability targets is expensive in terms of time and money. Two options for proving reliability targets exist, bench testing or analysis of field data. Both possibilities have their advantages and disadvantages. Tests offer the advantage of knowing the testing parameters precisely, usually at the expense of small sample sizes and synthetic testing conditions. Compared to bench tests, field data has the advantage of realistic loads on the product and large sample sizes, with the disadvantage of uncertainty in actual lifetime and stress information. Despite these disadvantages, field data analysis has a great potential for determining real lifetime and failure mechanisms of products. Field datasets often consist of a combination of different product types or failure mechanisms. These combinations can occur due to mixed distributions or failures of various components of a system. In this work, a new method to analyze these mixtures of distributions is presented. Firstly the known graphical and analytical methods for analyzing mixed distributions are illustrated. The limitations of the methods mentioned before are discussed concerning the analysis of mixed distributions and Boolean systems. Due to the limitations of analytical methods, numerical optimization methods and their ability in estimating distribution parameters are discussed. The most promising optimization methods were chosen and analyzed with regard to the present problem. Genetical algorithms and artificial neural networks were examined in detail for applicability to the problem. The function, structure and application of both optimization methods were described and discussed. Both methods were compared relating their applicability to solve the problem of parameter determination of mixture distributions. As a result of the comparison, the genetic algorithms were determined to be the better option, in terms of both versatility and easy implementation. The genetic algorithm to determine the parameters of mixture distributions was implemented in Matlab. Using exemplary representative mixed distributions, the different parameters of the algorithm were analyzed and optimized. Therefore the encoding of the individuals, the applicable fitness function and the optimal parameters of the algorithm were defined in the next step. Based on this analysis, a set of specifications for the parameter estimation of mixture distributions could be recommended. The functionality and expected quality of the results of the genetic algorithm was evaluated using several representative datasets. Genetic algorithms, such as a stochastic method, have the ability to find a global optimum for the given problem. Therefore large population sizes and high numbers of generations are necessary. On the basis of the presented datasets, the results that can be expected with a limited population size and number of generations were analyzed. To achieve this, the representative datasets should include as many types of mixed distributions and Boolean systems as possible. Based on this, the results can, in general, be considered applicable. After defining the datasets, the distribution parameters were determined using genetic algorithms and the results were discussed. The achieved results for the mixed distributions without failure-free time of the genetic algorithm are in the same range as the results of commercial software products. As expected, increasing numbers of subdistributions lead to a decreasing accuracy of the results. Parameter determinations of mixed distributions with failure free time and Boolean systems show good results. The final section deals with the determination of the number of sub-distributions. Subdistributions were considered as an additional parameter to be determined. The accuracy of the results was discussed and different points for improvement actions were established. With the genetic algorithm a method was implemented, that is applicable to determine distribution parameters of all types of mixture distributions. The accuracy of the results is close to the ones of the analytical method of comparison the MLE/EMAlgorithm. Compared to the analytical method, the universal applicability of only one procedure to all mixture distributions compensates for the disadvantage of slightly worse results. The genetic algorithm presented in this work shows good results for the evaluation of the presented datasets. A general verification for the applicability to other types of distributions, such as the normal or lognormal distribution, is pending. In addition, further extensions of the genetic algorithm are known, as for example memetic algorithms which have not yet been studied. This work showed that numerical methods have the principal ability for the parameter estimation of mixture distributions. Based on this, further numerical methods, such as artificial neural networks, could be considered for their applicability to this problem.