Stabile und konsistente Kontaktmodellierung in Raum und Zeit

Abstract

Die vorliegende Arbeit befasst sich mit verschiedenen Aspekten der Diskretisierung von Kontaktvorgängen in Raum und Zeit. Im Hinblick auf eine stabile und konsistente Modellierung werden bestehende Verfahren verglichen und Verbesserungen erarbeitet.

Schwerpunkt der räumlichen Untersuchungen ist die Weiterentwicklung der in HARTMANN U. A. (2007) und HARTMANN UND RAMM (2008) vorgestellten Kontaktdiskretisierung, die auf der dualen Mortar-Methode (WOHLMUTH 2000, 2001) basiert. Durch die Verwendung der Methode der Lagrange’schen Multiplikatoren erfüllt diese Formulierung die Nichtdurchdringungsbedingung exakt. Gleichzeitig erlaubt die Diskretisierung der Multiplikatoren mit dualen Formfunktionen die einfache Kondensation der zusätzlichen Unbekannten aus dem resultierenden Gleichungssystem. Somit wird der übliche Nachteil der Methode der Lagrange’schen Multiplikatoren vermieden.

Mit der herkömmlichen Definition der dualen Formfunktionen können am Rand des Kontaktbereichs inkonsistente Mortar-Matrizen entstehen. Als Folge dessen resultieren unphysikalische Werte für die Knotenklaffung und fehlerhaft übertragene Kontaktkräfte. Zur Korrektur dieses Verhaltens wird in dieser Arbeit eine modifizierte Definition der Mortar-Matrizen vorgeschlagen. Damit die Modifikation nicht die Konditionierung des resultierenden Gleichungssystems verschlechtert, wird zusätzlich eine Wichtungsprozedur für die modifizierten Mortar-Matrizen vorgestellt. Als Ergebnis ist in allen Fällen eine konsistente Übertragung der Kontaktkraft und eine konsistente Berechnung der Normalklaffung möglich, ohne dabei die Konditionierung zu beeinträchtigen.

Die Betrachtungen zur zeitlichen Diskretisierung analysieren zunächst den Einfluss von Kontaktereignissen auf die Eigenschaften der dynamischen Strukturantwort. Beruhend auf den gewonnenen Erkenntnissen wird anschließend eine möglichst optimale zeitliche Kontaktdiskretisierung formuliert. Diese ist mit einer Strategie nach KANE U. A. (1999) energetisch stabil. Durch die Erweiterung einer Idee von DEUFLHARD U. A. (2008) auf Probleme mit großen Deformationen werden Oszillationen in der Kontaktkraft vermieden. Die Modifikation der Geschwindigkeit in einer Nachlaufrechnung stellt physikalisch sinnvolle Kontaktgeschwindigkeiten sicher. Darüber hinaus wird der Kontakt energieerhaltend modelliert, ohne die Nichtdurchdringungsbedingung zu verletzen. Hierzu kommt das Energie-Korrekturkraft-Verfahren zum Einsatz, das eine im Rahmen der vorliegenden Arbeit formulierte Weiterentwicklung des Konzepts von ARMERO und PETÖCZ (1998) darstellt. Außer mit dem präsentierten Verfahren ist eine energieerhaltende Kontaktbehandlung bei gleichzeitiger exakter Erfüllung der Nichtdurchdringungsbedingung nur mit der „Velocity-Update-Method“ (LAURSEN UND LOVE 2002) möglich. Im Gegensatz zu dieser gibt das Energie-Korrekturkraft-Verfahren die dissipierte Energie jedoch nicht ausschließlich in kinetischer Form zurück. Stattdessen bestimmt die Systemantwort, wie die Energie-Korrekturkraft die Gesamtenergie vergrößert.

Anhand von numerischen Experimenten werden abschließend die untersuchten Verfahren bewertet. Zusätzlich wird die Leistungsfähigkeit der entwickelten Methoden demonstriert.

The present thesis deals with different aspects of spatial and temporal discretisation schemes for contact problems. With regard to a stable and consistent modelling existing approaches are compared and improvements are developed.

Main focus of the spatial investigations is the extension of the contact discretisation presented in HARTMANN ET AL. (2007) and HARTMANN AND RAMM (2008), which is based on the dual mortar method (WOHLMUTH 2000, 2001). This formulation fulfils the non-penetration condition exactly by utilising the Lagrange multiplier method. At the same time, interpolating the multipliers with dual shape functions allows for an easy condensation of the additional unknowns from the system of equations. Consequently, the usual drawback of the Lagrange multiplier method is eliminated. Using the conventional definition for the dual shape functions inconsistent mortar matrices may occur at the boundary of the contact area. This in turn leads to unphysical values of the nodal gaps and to an inaccurate transmission of the contact force. To correct this issue, in the present thesis a modified definition for the mortar matrices is proposed. Additionally, a weighting procedure for the modified mortar matrices is presented to avoid ill-conditioning of the stiffness matrix as a corollary of the proposed modification. Finally, the resulting algorithm allows for a consistent transmission of the contact force and a consistent calculation of the nodal gaps without affecting the conditioning.

The studies related to the temporal discretisation firstly analyse the influence of contact events on the dynamic structural behaviour. Subsequently, based upon the obtained insight a temporal contact discretisation is formulated with the aim of best possible performance. The developed algorithm is stable in energy by using a strategy published by KANE ET AL. (1999). Extending an idea of DEUFLHARD ET AL. (2008) to large deformation problems avoids oscillations of the contact force. Physically meaningful contact velocities are obtained by modifying the velocities of the contact nodes in a postprocessing step. Furthermore, contact events are modelled in a way that conserves energy without violating the non-penetration condition. For this purpose the Energy Correction Force Method, developed within the framework of the present study as an extension of the concept presented in ARMERO and PETÖCZ (1998), is employed. Apart from the presented algorithm, an energy conserving contact modelling exactly satisfying the non-penetration condition is solely possible by utilising the „Velocity-Update-Method“ (LAURSEN AND LOVE 2002). However, in contrast to this approach the Energy Correction Force Method restores the dissipated energy not exclusively in terms of kinetic energy. Instead, the structural response decides in which manner the total energy is increased by the energy correction force.

Finally, numerical experiments are used to assess the investigated algorithms. Additionally, the performance of the developed schemes is demonstrated.