Functional renormalization group analysis of Luttinger liquids with impurities

Abstract

In one-dimensional quantum wires the interplay of electron correlations and impurities strongly influences the low-energy physics. The diversity of energy scales and the competition of correlations in interacting Fermi systems can be treated very efficiently with the functional renormalization group (fRG), describing the gradual evolution from a microscopic model Hamiltonian to the effective low-energy action as a function of a continuously decreasing energy cutoff. The fRG provides the universal low-energy asymptotics as well as nonuniversal properties, and in particular an answer to the important question at what scale the ultimate asymptotics sets in.

The lowest order truncation of the fRG hierarchy of flow equations considered previously for spinless fermions is generalized to spin-1/2 systems and extended including renormalization of the two-particle interaction, in addition to renormalization of the impurity potential. The underlying approximations are devised for weak interactions and arbitrary impurity strengths. A comparison with numerical density-matrix renormalization results for systems with up to 1000 sites shows that the fRG is remarkably accurate even for intermediate interaction strengths.

We investigate the influence of impurities on spectral and transport properties of fermionic lattice models with short-range interactions. The results capture relevant energy scales and crossover phenomena, in addition to the universal low-energy asymptotics. For weak and intermediate impurity strengths the asymptotic behavior is approached only at rather low energy scales, accessible only for very large systems. For spin-1/2 systems two-particle backscattering leads to striking effects, which are not captured if the bulk system is approximated by its low-energy fixed point, the Luttinger model. In particular, the expected decrease of spectral weight near the impurity and of the conductance at low energy scales is often preceded by a pronounced increase, and the asymptotic power laws are modified by logarithmic corrections.

Die Niederenergiephysik eindimensionaler metallischer Elektronensysteme mit Störstellen ist durch den Einfluß der Störstellen im Wechselspiel mit Wechselwirkungseffekten geprägt. Die funktionale Renormierungsgruppe (fRG) bietet einen effizienten Ansatz zur Untersuchung wechselwirkender Fermisysteme. Diese beschreibt die graduelle Entwicklung vom mikroskopischen Modell zur effektiven Niederenergiewirkung als Funktion der Energie. Diese liefert neben der korrekten Beschreibung der universellen Niederenergieasymptotik auch nichtuniverselle Eigenschaften auf höheren Skalen, und insbesondere eine Antwort auf die wichtige Frage nach der {\em Skala}, bei der die Asymptotik einsetzt.

Der fRG Ansatz für Luttingerflüssigkeiten früherer Anwendungen auf spinlose Fermionen wird auf Spin-1/2 Fermionen erweitert, ferner wird zur Renormierung des Störstellenpotentials die des Zwei-Teilchen-Vertex einbezogen. Die zugrundeliegenden Näherungen sind für schwache Wechselwirkungen und beliebige Störstellenpotentiale gerechtfertigt. Ein Vergleich mit exakten numerischen Daten der Dichte-Matrix-Renormierungs-Gruppe für Systemgrößen mit bis zu 1000 Gitterplätzen zeigt jedoch, daß die fRG auch für mittlere Wechselwirkungsstärken erstaunlich präzise ist.

Explizite Flußgleichungen werden für verschiedene fermionische Gittermodelle mit kurzreichweitiger Wechselwirkung zur Untersuchung spektraler und Transporteigenschaften hergeleitet. Die Ergebnisse erfassen sowohl universelle Potenzgesetze im Niederenergiebereich, als auch relevante Energieskalen und Übergangsphänomene auf mittleren Skalen. Für mittlere Werte des Störstellenpotentials wird das asymptotische Verhalten nur bei relativ niederen Energieskalen erreicht, das für hinreichend große Systeme zugänglich ist. Schließt man den Spinfreiheitsgrad mit ein, führt die Rückstreuung von Elektronen mit entgegengesetztem Spin an unterschiedlichen Fermipunkten zu unerwarteten Effekten, die nicht in einer Beschreibung des Niederenergiefixpunktmodells, des Luttingermodells, erfaßt sind. Der erwarteten Unterdrückung des spektralen Gewichts an der Störstelle und des Leitwerts bei niederen Energien geht oft ein deutlicher Anstieg voraus. Ferner weisen die asymptotischen Potenzgesetze logarithmische Korrekturen auf.