The Hofstadter butterfly and quantum interferences in modulated 2-dimensional electron systems

Abstract

In this work, we studied 2D electron systems in a 2D periodically modulated electric potential by means of magnetotransport measurements. Such experiments have been performed for more than a decade, using GaAs/AlGaAs heterostructures, in the search for effects caused by an artificial band structure and due to the competition of characteristic length scales in the system. Here we present samples with modulations of 100nm periodicity and with the highest reported mean free path to date, thus enabling the measurement of previously-unobserved quantum mechanical phenomena in 2D modulated electron systems.

We present the fundamental concepts necessary to discuss 1D- and 2D-modulated 2D electron systems: the competition of two characteristic length scales, the modulation period and the magnetic length, leads to semiclassical commensurability oscillations in the longitudinal magnetoresistance of 1D-modulated samples. For the high magnetic field limit and a 2D modulation, this competition leads to a quantum mechanical phenomenon: the Hofstadter butterfly spectrum. We highlight its influence on magnetotransport measurements, in particular on the quantized Hall conductance. The fractal Hofstadter butterfly energy spectrum is unveiled, using the quantized Hall conductivity as a probe. The long searched-for rearrangement and deformation of this spectrum due to Landau band coupling is presented.

For the weak magnetic field limit, we start with the miniband structure due to the artificial modulation and discuss Fermi contours and their modifications due to magnetic breakthrough. We describe how closed electron trajectories are manifested in magnetotransport. Quantum interferences characteristic of a 2D artificial crystal and the set of most probable electron orbits are measured and explained quantitatively for the first time. We use Fourier-transformed magnetotransport data for a range of electron densities to identify oscillations in comparison with Monte Carlo simulations which were developed in this work.

Finally, we vary the lattice geometry: both a smaller lattice period and a Lieb lattice are studied in light of quantum interferences. An unexpected avoided cross over of two oscillations is found. The sensitivity of the quantum interferences to the modulation potential shape is confirmed, and new interferences are discovered.

We verify a recent theoretical prediction for rectangular lattices experimentally. We observe a characteristic non-monotonic dependence of the commensurability oscillation amplitudes on the applied B-field, which is unknown for square lattices.

In dieser Arbeit werden 2D Elektronensysteme in 2D periodisch modulierten elektrischen Potentialen mit Hilfe von Magnetotransport-Messungen untersucht. Derartige Experimente sind bereits mit GaAs/AlGaAs Heterostrukturen durchgeführt worden, um die Effekte einer künstlichen Bandstruktur und der Konkurrenz der charakteristischen Längenskalen nachzuweisen. Hier können nun Proben mit 100nm Periodizität und der bisher höchsten berichteten mittleren freien Weglänge vorgestellt werden. Somit wird die Messung von bisher unbeobachteten quantenmechanischen Phänomenen in 2D modulierten Systemen möglich.

Zu Beginn werden die Grundlagen von 1D- und 2D-modulierten 2D-Elektronensystemen erörtert: Die Konkurrenz zweier charakteristischer Längenskalen, der Modulationsperiode und der magnetischen Länge, führen zu semiklassischen Kommensurabilitätsoszillationen im longitudinalen Magnetowiderstand von 1D-modulierten Proben. Im Grenzfall eines starken Magnetfeldes und einer 2D-Modulation führt diese Konkurrenz zu einem quantenmechanischen Phänomen: dem Hofstadter Schmetterlingsspektrum. Sein Einfluß auf Magnetotransport-Messungen wird herausgestellt, insbesondere auf die quantisierte Hall-Leitfähigkeit. Es wird das fraktale Hofstadter Schmetterlingsspektrum mittels der quantisierten Hall-Leitfähigkeit experimentell nachgewiesen. Die theoretisch vorhergesagte Umordnung und Deformierung des Spektrums infolge von Landaubandkopplung wird in Messungen bestätigt.

Für den Grenzfall eines schwachen Magnetfeldes wird bei der durch künstliche Modulation erzeugten Minibandstruktur angesetzt und im Anschluß die Fermikonturen und ihre Änderung aufgrund des magnetischen Durchbruchs diskutiert. Es wird beschrieben, wie sich geschlossene Elektronenorbits im Magnetotransport manifestieren. Es wird die Gruppe der wahrscheinlichsten geschlossenen Elektronenorbits ermittelt und im Experiment nachgewiesen. Erstmals werden Quanteninterferenzen, die charakteristisch für ein künstliches 2D-Kristall sind, gemessen und quantitativ erklärt. Dabei werden Fourier-transformierte Magnetotransportdaten, die bei verschiedenen Elektronendichten gewonnen wurden, genutzt, um Oszillationen im Vergleich mit den in dieser Arbeit entwickelten Monte-Carlo-Simulationen zu identifizieren.

Schließlich wird die Gittergeometrie variiert: Sowohl eine kleinere Gitterperiode als auch ein Lieb-Gitter werden im Hinblick auf Quanteninterferenzen untersucht. Ein unerwartete "vermiedene Kreuzung" von zwei Oszillationen wird beobachtet. Der Einfluß der Fourierkomponenten des Modulationspotentials auf die Quanteninterferenzen wird bestätigt; neue Interferenzen werden gefunden.

Im zweiten Teil wird die jüngste Voraussage für rechteckige Gitter im Experiment bestätigt: Es wird eine charakteristische nichtmonotone Abhängigkeit der Amplitude der Kommensurabilitätsoszillationen vom Magnetfeld gefunden, die für 1D- und quadratische 2D-Modulationen nicht existiert.